胡云端：专题复习——立体几何中的截面问题
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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专题复习
立体几何中的截面问题
湖北省安陆市涢东学校 胡云端
一、基本知识点
1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等等），得到的平面图形叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
2、正六面体的基本斜截面：
正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
3、圆柱体的基本截面：
技能要求：
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；
技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
二、例题选讲：
例1.一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）
分析:考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2.有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）
例3【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】
某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4√3的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）
故选:C.
例5【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】
【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
例9【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】
例11（2013安徽高考理）如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
故⑤正确．
【答案】①②③⑤
例12（2020南昌二模）已知正四棱锥P﹣ABCD中,△PAC是边长为3的等边三角形,点M是△PAC的重心,过点M作与平面PAC垂直的平面α，平面α与截面PAC交线段的长度为2,则平面α与正四棱锥P﹣ABCD表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （请将可能的结果序号横线上）
①2； ②2√3； ③3； ④3√3．
【分析】设AC∩BD＝O，由P﹣ABCD为正四棱锥，知BO⊥平面PAC，过M作MT∥BO，分别交PB、PD于点T、L，则MT⊥平面PAC，只需所作的平面α是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案．
【解答】设AC∩BD＝O，∵P﹣ABCD是正四棱锥，∴平面PAC⊥平面ABCD，又BO⊥AC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BO⊂平面ABCD，∴BO⊥平面PAC，过M作MT∥BO，分别交棱PB、PD于点T，L，则MT⊥平面PAC，由题意只需所作的平面α是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可，又△PAC是边长为3的等边三角形，点M是△PAC的重心，过M作MQ∥AC，分别交棱PA、PC于点E，Q，
如图2，过T作TH∥GF，过L作LQ∥GF，由题意得GLQHT为满足题意的平面α，GLQF和GTHF是两个全等的直角梯形，T，H分别为GE、EF的中点，
【作者简介】胡云端，男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。