勒洛三角形：用来当井盖，比圆形省钱！被誉为三角形的叛徒
作者：大神团·张通
作者介绍：张通，新东方智慧学堂授课老师，北京大学力学系理论与应用力学专业学士。
今天的话题要从一个经典的问题说起——“为什么井盖都是圆形的？”
网上热传，这是微软中国延续了很多年的面试真题，很多人因为答不上这道题被微软淘汰。关于这套题的答案，说法有很多，比较大众的有两种：
1、圆形井盖不会掉进井里，因为正三角形当俯视图是高线时会沿边长方向掉入，正方形会沿对角线方向掉入，事实上n边形都会沿最长对角线方向掉入，只有圆形不会掉入
2、井盖很重，圆形可以滚动，方便运输或更换。
然而这都不是正确答案！（正确答案，会在文末告诉大家）
要是只考虑这两个要求的话，从严谨的学术角度上来说，我们显然还有更优选择——
我们把井盖看成一个封闭的平面图形，若不会掉进截面相同的井里，需要该图形从各个方向看，其宽度必须一样，否则宽度小的方向就会沿宽度大的方向掉入。于是把满足这个性质的图形称为“定（等）宽图形（曲线）”。
根据性质，显然“定宽曲线”也可以在一组定宽的平行线间滚动（圆也是“定宽曲线”）。
那我们的更优选择是什么呢？这就要从十九世纪德国机械工程专家、机构运动学的创始人勒洛说起了。勒洛最先发现了一种满足“定宽曲线”性质的曲线，后人称为“勒洛三角形”。
为了下文叙述方便，引入“曲率”。曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于圆和圆弧来说，它的定义很好理解，就是圆（或圆弧所在圆）的半径的倒数。所以容易知道，曲率越大，曲线越弯曲。
勒洛三角形的定宽性容易证明，读者朋友可以先试着自己证明一下看看。可以和下面的对比看看您的证明是否正确哦~
有了勒洛三角形的例子，那么自然要问，有没有勒洛四边形？
实际上，由四边形顶点引出弧是不能构成勒洛四边形的。
首先，以下只需要考虑凸多边形，因为凹点可以直接无视并去掉。然后每个顶点的两边不为同一个圆弧，否则该顶点只是圆弧中间部分的一点，可以直接无视并去掉。
其次，勒洛多边形的所有曲线都是圆弧，由定宽性，这些圆弧的曲率都必须相同。
结论：不存在勒洛四边形。
那勒洛正五边形呢？
为了保持曲线的曲率一定，又注意到在画弧时半径都是对角线长，所以五边形的五条对角线（这里只需要求顶点距离最远的一组对角线，但五边形的五条对角线均在该组）必须相等，而边长则没有要求。
于是，只要满足对角线相等的五边形都可以生成唯一一个勒洛五边形。
勒洛多边形和圆有很多相似之处，如：
1、图形内任意两点间距离均不超过定宽宽度h；
2、在定宽h的平行线内滚动，任意时刻与任意一条直线有且只有一个交点；
3、周长均为πh。
当然也有很多区别。
所以，当定宽相同时，所有定宽曲线中勒洛三角形的面积最小，圆的面积最大。
另外，还有一个本质的不同，这个不同点， 直接导致了“目前市面上的轮子都是圆形”这个现象。这个不同点就是——重心！
圆在转动时，重心保持不变，或者说轴始终在圆心的位置。但勒洛多边形则不是。
拿勒洛三角形来举例。
勒洛三角形的重心即三角形的重心，距顶点和对弧中点的距离不等，所以随着滚动，随时在变化。
所以，勒洛多边形，只能在无轴的轮子上使用！例如古人运重物时，会把大小相同的轮子摆成一排，上面铺上长木板进行运输。这种情况下，可以使用勒洛多边形。
但是如果要在轮子上装轴，勒洛多边形就不能胜任了。比如自行车、汽车、旱冰鞋。如果用了勒洛多边形，就会上下颠簸，无法使用。
最后，勒洛多边形还有与圆的第三点不同之处——曲率！
圆是处处光滑的，换句话说曲率处处相等，但勒洛多边形在所有的顶点处均不光滑，都是尖的，这些点的曲率均不存在。在材料力学中，勒洛多边形的材料一旦承重，这些点的应力要比其余光滑处大很多，所以很容易损坏。
那数学家是怎么改善的呢？
把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段，再以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径等于边长与延长线的长度和，内角的对顶角所对的圆弧等于延长线的长。
由这样的六条圆弧组成的定宽曲线就一定程度上克服了尖点（该图形在圆弧的六处连接处仍存在尖点，这些点曲率均不存在，但此时尖点左右两处领域的切线夹角要小很多，因此光滑得多了）。
那勒洛三角形有什么实际用处呢？
虽然不能用来做轮子，但由于勒洛多边形是定宽曲线，所以可以在正方形内部贴着旋转，又由于重心不断变化，所以可以覆盖更多面积，这样旋转一周，覆盖面积接近正方形的面积。
利用这个性质，人类在实用层面用它做了很多造福人类的发明。
1、吸尘器
用来制作自动吸尘器。因为大多建筑房间都是方形的，圆形的吸尘器不管怎么转动，都很难把墙角的灰尘去除，所以勒洛三角形的吸尘器通过自动转动，能覆盖98%以上的房间面积。
使用勒洛三角形的扫地机器人
2、钻孔
另外在地质领域中，往往需要得到很深的井，甚至要穿过坚硬的岩石。在打井时，往往需要旋转转头，施加回转力矩与轴压力，使钻头做旋转与进给运动，来切割岩石。在高速旋转下，定轴任意形状的钻头只能打出圆形孔。而勒洛三角形钻头的轴具有周期运动的特性，就可以打出近似正方形的孔。
3、汽车发动机
汽车发动机因为要不断输气、排气，于是勒洛三角形巧妙地运用了平面上旋转时的“漏洞”，使得这一切得以运转起来。
90年代马自达著名的“转子引擎”，就是使用了勒洛三角形，把汽缸分成三个独立空间，三个空间各自先后完成进气、压缩、做功和排气，转子自转一周，发动机点火做功三次。要知道圆形轴发动机每转两周才做一次功。
4、制作笔
人类拿笔写字时，通常是三根手指拿笔，勒洛三角形的每一边的弧线都能紧密接触一根手指，从而更好地控制笔。基于这种抓着力更强的机制，在设计幼儿专用铅笔的截面时，大多采用勒洛三角形。
外形美观。勒洛多边形的边界既有圆弧又有尖角。
还有很多艺术品如糖盒、化妆品盒、石桩、盘子等的形状都是艺术家刻意这么设计的。再比如英国的硬币50便士就是勒洛正七边形。
上海中心大厦的俯视图也是莱洛三角形。其墙上的图标、地上的灯柱等都是以勒洛三角形为特点设计的。
除了平面上的勒洛三角形，还有立体版的勒洛四面体，它的生成可以说是如出一辙，效果就跟球一样，可以自由滚动。现实中，栗子就很像一个勒洛四面体。
定宽曲线不只限于由圆弧构成的曲线，还有完全不包含圆弧的定宽曲线，那是一类特殊的卵形曲线。可以说定宽曲线还有许多离奇奥妙的性质和用途等待同学们去发现。
回到文初的问题，那么“井盖为什么是圆的”？
其实答案很简单，因为井是圆的（截面是圆形的）。
作者介绍：张通，新东方智慧学堂授课老师，北京大学力学系理论与应用力学专业学士。新东方智慧学堂（ID：zhihuixuetang_xdf），与精英为伍，成就未来精英。