对称之四：对称与对偶

就在西方学者在现实世界探索精度型科学时，古中国之学者却致力于虚实结合而偏向于虚拟世界。古中国人传承“孤阳不生，独阴不长”之哲学观点，因此认为对偶之阴阳二象具有互补性。阴阳二象本身是各自独立的，且互相不可替代。当人们同时从阴阳或虚实这对立统一的两面去考察某系统之结构特征时，则该系统可称为一个完备（度量）空间。

完备（度量）空间为现代数学中的重要概念，该空间中之任何柯西）序列都收敛在该空间之内。有理数域是不完备的，如收敛序列

是实数域内之柯西序列，但其极限

不属于有理数；开区间(0,1)也不是完备的，如调和序列{1/n}是柯西序列，其极限为0，但0不属于区间(0,1)。然而，实数域是完备的。直观来看，一个空间完备就是指空间内部没有“缝隙”且边界上无缺陷。一个空间完备同一个集合之闭包类似，且完备空间之闭子集也是完备的。

也许正是实数之完备性导致了古中国之学者们裹足不前，而未进一步考虑虚数。然而二象结构是自然意义下之最优互补，正如弓与箭必须合在一起才能杀敌制胜，软、硬件合二为一才能运行电脑一样。因此，虚数，乃至复数之产生，是迟早而必然的。

虚数之产生，使得实数与虚数阴阳合壁而成为复数。复数域更具有完备性，其功能比其对偶二象分别功能之和更强，即复数除了具有实数空间之所有性质外，还具有一些额外性质。如指数函数之周期性，三角函数与之无界性，对数函数之无穷多值性等。这些性质都是证明之绝佳范例。

一个完备空间具有同一性与稳定性，此正古人所谓之“近朱者赤，近墨者黑”。虽然庄子等很早就论述了极限思想（如“一尺之捶，日取其半，万世不竭”），但对于极限型之精度却毫不关心，因此空间完备性之严谨理论也并未构造。中国古人似乎只关心抽象世界之完备，如自古就有“夫妻相”之说。《20世纪的23项突破》一书报道：和睦生活在一起之女性，其经期将趋于同步。正如两个放在一起的单摆一样，在频率竞争下，会形成可公度之锁相运动轨道，且最终会频率趋于一致。

完备空间自身内部还具有对称结构，如：复数域中阴（虚数域）、阳（实数域）二象达到虚实均衡，可谓之对称。几何是一种显对称，函数是一种隐对称，代数则是一种终极之结构对称。

对称是一种简易法则，这也是《易经》之主要诠释。（东汉）郑玄《易赞》与《易论》解释说：

易含三义：简易一也，变易二也，不易三也。

其中之不易即不变，只有不变才能应万变。而变易即“变则通”，无物不易，无易不物！简易，则是指变易之法则应该简单。对称，在数学上而言就是指在某种变换下保持不变性，且按这一法则来产生新事物是简易的。

古人认为，阴阳二气构成了宇宙乾坤、日月星辰乃至世间万物。今天，人类可以将几乎所有信息与信号转换成二进制然后储存进电脑，这种代数法则与中国古人之学说在数学原理上是完全一致的。可以说，中国古人是严格地按照代数（或算术）原理来建立其学说与“道”的。

在代数学中，对偶是比对称更广义之概念。数学上，对偶空间不是唯一的，且在某些序空间与外积空间中，由于具有方向性，对偶甚至不是相互的。如向量X与Y满足Y = AX，其中A是某个使得向量乘法可以实现之满秩矩阵，则对线性代数稍具了解之人都知道，X =AY是不一定成立的。

根据这种代数法则，甚至可以解释中国古代的一些神话。如：为什么人死了变成鬼魂，而在转世时却有可能“做牛做马”。《西游记》第十一回（还受生唐王遵善果　度孤魂萧瑀正空门）中阴间判官对李世民道：

六道轮回：行善的升化仙道，尽忠的超生贵道，行孝的再生福道，公平的还生人道，积德的转生富道，恶毒的沉沦鬼道。

对偶之不唯一性与不一定相互性在此被表现得淋漓尽致。

综上所述，用对偶来形容宇宙结构只怕要比对称更好。既然对偶可以是不唯一、不相互的，那当然也可以是不存在的（代数学可以证明此点）。如此，则可以解释为什么创世初之混沌不需要有物与其对称。由于演化原因与涨落动力，宇宙结构有时候呈现出手性，出现非对称性；而有时候呈现出对称或某种不变性。但不管是非对称还是对称，其实都是宇宙结构在某种数学法则下之某类对偶。