(26)冷轧钢(CFS)住宅设计——选型法

7.3.2计算法

这一部分是采用美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)(即允许应力设计,ASD)计算托梁的允许跨度,其它构件的设计计算,读者可以参阅《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》一书。

7.3.2.1第一层楼层托梁设计

针对610mm中心间距的203S41-1.37单跨度托梁,支撑着1915N/m2的活荷载加479N/m2的静荷载,采用《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)的规定,计算其允许的跨度。用楼层覆盖物侧向限制托梁的受压边缘。

⒈截面图(见图7.3-1)

图7.3-1

⒉ 截面特性参数

下面为203S41-1.37C型钢的截面特性(来自《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4):

总面积:A=4.32cm2

静面积:A0=A-Dt=4.32-3.8×0.144=3.77cm2

孔宽度:D=3.8cm

孔长度:L=102mm

剪力中心到质心的距离:X0= -2.37cm

转动惯量:Iy=8.08cm4

转动惯量:Ix=238.78cm4

截面模数:Sx=23.5cm3

St. Venant扭转常数:J=29.77×10-3cm4

扭曲扭转常数:Cw=674cm6

回转半径:Rx=7.43cm

Ry=1.37cm

回转极半径:R0=7.92cm

扭转弯曲常数:β=0.911

允许弯矩:Ma=3594N-m

允许剪力:V=8925N

⒊计算参数

设计厚度:t=1.44mm

最小未镀层交付厚度:t0=t×0.95=1.44×0.95=1.37mm

内侧弯曲半径:R=2.16mm

腹板直线宽度:a0=d-2(R+t)=203-2×(2.16+1.44)=195.81mm

边缘直线宽度:b0=b-2(R+t)=41-2×(2.16+1.44)=33.81mm

唇缘直线宽度:c0=c-(R+t)=12.7-(2.16+1.44)=9.104mm

弧长范围:μ=1.57(R+t/2)=1.57×(2.16+1.44/2)=4.52mm

中性轴半径:r=(R+t/2)=2.16+1.44/2=2.88mm

中性轴距离顶部的距离:Ycg=d/2=203/2=101.50mm

α=1

⒋面积

⑴总面积

A=t[a0+2b0+2c0+2π(R+t/2)]

=1.44[195.81+2×33.81

+2×9.104+2π×(2.16+1.44/2)]

=432mm2

=4.32cm2

⑵净面积

A0=A-A1

=A-Dt

=432-38×1.44

=377mm2

=3.77cm2

⒌每米重量

⑴每米总重量

ρ1=Aρ

=(432×10-6)×(7.85×103)

=3.388kg/m

⑵每米净重量

ρ10=A0ρ

=(377×10-6)×(7.85×103)

=2.958kg/m

⒍对X轴的总特性

⑴总转动惯量[美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的附录资料第1.2部分]

Ix=2t{0.0417a03+b0(a0/2+r)2

+μ(a0/2+0.637r)2+0.0149r3

+α[0.0833c03+(c0/4)(a0-c0)2

+μ(a0/2+0.637r)2+0.149r3]}

=2×1.44×{0.0417×195.813

+33.81×[(195.81/2)+2.88]2

+4.52×[(195.81/2)+0.637×2.88]2

+0.0149×2.883+1×[0.0833×9.1043

+(9.104/4)×(195.81-9.104)2+

4.52×(195.81/2+0.637×2.88)2

+0.149×2.883]}

=2377927mm4

=237.79cm4

⑵总截面模数

Sx=Ix/Ycg

=237.79/10.15

=23.428cm3

⑶回转半径

Rx=(Ix/A)1/2

=(237.79/4.32)1/2

=7.423cm

⒎对Y轴的总特性

⑴总转动惯量[美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的附录资料第1.2部分]

x’=(2t/A){b0(b0/2+r)+μ(0.363r)

+α[μ(b0+1.637r)+c0(b0+2r)]}

=(2×1.44/432){33.8`×[(33.81/2)

+2.88]+4.52×(0.363×2.88)

+4.52×(33.81+1.637×2.88)

+9.104×(33.81+2×2.88)}

=8.058mm

=0.8058cm

Iy=2t{b0(b0/2+r)2+0.0833b03

+0.356r3+α[c0(b0+2r)2+

μ(b0+1.637r)2+0.0149r3]}

-A(x’)2

=2×1.44×{33.81×[(33.81/2)

+2.88]2+0.0833×33.813

+0.356×2.883+9.104×(33.81+2×2.88)2

+4.52×(33.81+1.637×2.88)2

+0.0149×2.883]}-432×8.0582

=79693mm4

=7.969cm4

⑵总截面模数

xcg=x’+t/2

=0.8058cm+0.144cm/2

=0.878cm

Sy=Iy/xcg

=7.969/0.878

=9.079cm3

⑶回转半径

Ry=(Iy/A)1/2

=(7.969cm4/4.32cm2)1/2

=1.359cm

⒏扭转特性

⑴St. Venant扭转常数

J=(t3/3)[a0+2b0+2μ+α(2c0+2μ)]

=(1.443/3)×(195.81+2×33.81

+2×4.52+2×9.104+2×4.52)

=298.293mm4

=29.8×10-3cm4

⑵扭曲扭转常数

扭曲扭转常数是根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的附录资料第1.2.2部分公式9来计算,也可以从《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4中查得CW

CW=674cm6

⑶回转极半径

从《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4中查得x0=-2.37cm。针对质心主轴计算截面的回转半径。

R0=(RX2+RY2+X02)1/2

=(7.4232+1.3592+2.372)1/2

=7.91cm

⑷扭转弯曲常数

β=1-(X0/R0)2

=1-(2.37/7.91)2

=0.910

⒐计算冷作硬化(冷轧加工)后的屈服强度σya

σy=228MPa;

σu=310MPa;

θ=90°;

σyt=228MPa(原始屈服点)

因为

σuy=310/228

=1.36≥1.2

R/t=2.16/1.44

=1.497≤7

θ=90°≤120°

为了应用美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的公式A5.2.2-1,C型钢必须有一个压紧边缘,即ρ=1。对该部分,假定换算系数ρ=1。

m=0.192(σuy)-0.068

=0.192(310/228)-0.068

=0.193

Bc=3.69(σuy)-0.819(σuy)2-1.79

=3.69×(310/228)-0.819

×(310/228)2-1.79

=1.713

C=(2μ)/(2μ+b0)

=(2×4.52)/(2×4.52+33.81)

=0.211

σyc=Bcσy/(R/t)m

=1.713×228/(2.16/1.44)0.193

=361.301MPa

所以

σya=Cσyc+(1-C)σyf

=0.211×361.301+(1-0.211)×228

=256.101MPa

⒑计算有效截面特性

⑴计算转动惯量Ix

①参考美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的B4.2部分,计算边缘转动惯量Ia

E=203×103MPa

f=257MPa(由于冷轧)

b0/t=33.81/1.44

=23.478<60

c0/t=9.104/1.44

=6.322<60

计算

S=1.28(E/f)1/2

=1.28×(203×103/257)1/2

=36.037

S/3=36.037/3

=12.012

因为

S>b0/t>S/3

则适用于情况II

Ia/t4=399[(b0/t)/s-0.330]3

Ia=399t4[(b0/t)/s-0.33]3

=399×1.444×{[(33.81/1.44)

/36.037]-0.33}3

=57.004mm4

=57.004×10-4cm4

②计算全部边缘(唇缘)加强筋的转动惯量Is

因为

c0/t=9.104/1.44

=6.322<14(c0/t最大值)

Is=tc03/12

=1.44×9.1043/12

=90.548×10-4cm4

Is/Ia=90.548×10-4/57.004×10-4

=1.588

所以取

Is/Ia=1

因为

c/b0=12.7/33.81

=0.376

0.8>c/b0>0.25

则取

n=0.5

k=(4.82-5c/b0)(Is/Ia)n+0.43

=(4.82-5×0.376)×(1)0.5+0.43

=3.372

k=5.25-5c/b0

=5.25-5×0.376

=3.372

③根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的B2.1部分,取最小值(k=3.372)计算受压边缘的苗条(板薄)系数。

λ=(1.052/k1/2)(b0/t)(f/E)1/2

=(1.052/3.3721/2)×(33.81/1.44)

×(257/203×103)1/2

=0.478

因为

λ<0.673

ρ=1

be=b0=33.81mm

受压边缘全部有效。

④根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的B3.2部分,计算边缘加强筋有效宽度:

k=0.43

c0/t=9.104/1.44

=6.322

保守取

f=σy=228MPa

苗条(薄板)系数为

λ=(1.052/k1/2)(c0/t)(f/E)1/2

=(1.052/0.431/2)×(6.322)

×(228/203×103)1/2

=0.340

因为

λ<0.673

Is/Ia>1

则取

Is/Ia=1

ce=c0(Is/Ia)

=9.104×1

=9.104mm

受压加强筋(唇缘)全部有效。

⑸ 检查腹板是否全部有效

因为

D/a0=38/195.81

=0.194<0.4

所以可以用腹板总截面面积计算带孔腹板的Se

结合全部要素来定位中性轴位置。假定腹板全部有效,顶部屈服强度为σya

ycg=∑(Ly)/∑(L)

=304.198/29.970

=10.150cm

(离顶部边缘的距离)

由于受压边缘到中性轴的距离等于托梁深度的一半,假定受压应力为σya(也就是说,初始屈服是受压)。

■采用美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的B2.3部分检查腹板要素的

有效性。

因为

f1ya(ycg-t-R)/ycg

=256.101×(101.5

-1.44-2.16)/101.5

=247.027MPa(受压)

f2= -σya(d-ycg-t-R)/ycg

= -256.101×(203-101.5

-1.44-2.16)/101.5

= -247.027MPa(受拉)

ψ=f2/f1

= -247.027/247.027

= -1

k=4+2(1-ψ)3+2(1-ψ)

=4+2×(1+1)3+2×(1+1)

=24

用f1取代f,并按照上面所述确定的k=24计算:

λ=(1.052/k1/2)(a0/t)(f1/E)1/2

=(1.052/241/2)×(195.81/1.44)

×(247.027/203×103)1/2

=1.019

因为

λ>0.673

因此

ae=ρa0

ρ=(1-0.22/λ)/λ

=(1-0.22/1.019)/1.019

=0.770

ae=ρa0

=0.770×195.81

=150.714mm

腹板要素不是全部有效。

a2=ae/2

=150.714/2

=75.357mm

a1=ae/(3-ψ)

=150.714/(3+1)

=37.678

a1+a2=37.678+75.357

=113.035mm

根据有效截面计算出来的腹板受压部分长度

ace=ycg-(R+t)

=101.5-(2.16+1.44)

=97.904mm

因为

a1+a2<ycg-(R+t)

腹板要素不是全部有效,腹板上允许的最大开孔尺寸是:

2(ace-a2)

=2×(97.904-75.357)

=45.094mm

中性轴距离顶部的距离

ycg=∑(Ly)/∑L

=304.198/29.970

=10.150cm

Ix’=Ly2+Il’-Lycg2

=4113.513+625.745

-29.970×10.1502

=1651.649cm3

转动慣量

Ix=Ix’t

=1651.649×0.144

=237.837cm4(按总截面计算出来的转动慣量是237.793cm4,查表获得的转动慣量是238.78cm4

⑵计算有效截面模数

Sx=Ix/ycg

=237.837/10.15

=23.432cm3(按总截面计算出来的截面模数是23.428cm3,查表获得的截面模数是23.5cm3

⑶计算名义弯矩

Mn=Sxσy

=23.432×256.101

=6001.016N-m

⑷计算允许弯矩Ma

Ma=Mn/Ω

=6001.016/1.67

=3593.42N-m(按总截面计算出来的允许弯矩是23.428cm3×256.101MPa/1.67=3592.775N-m,查表获得的允许弯矩是3594N-m)

⒒ 校核剪切能力

未冲孔腹板(腹板没有孔)参考美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的C3.2部分。

⑴按照美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)计算

因为

a0/t=195.81/1.44

=135.979<200

Kv=5.34

计算

1.38(EKvy)1/2

=1.38×(203×103×5.34/228)1/2

=95.155

因为

135.979=a0/t

>1.38(EKvy)1/2

=95.155

则未冲孔截面腹板承载能力

Fq=0.53EKvt3/a0

=0.53×203×103

×5.34×1.443/195.81

=8761.24N

采用未冲孔截面腹板承载剪力计算最大的无支撑跨越长度。

这儿w=无系数的均布荷载,或ASD荷载组合×610=(0.479+1.915)×610=1460.34N/m

L=2×8761.24/1460.34

=12m      OK

由ICBO AC46方法计算203S41-1.37型钢构件冲孔腹板的允许剪力值。孔宽D=38mm,孔长102mm。位于腹板中心线上。

上面计算出未冲孔截面的203S41-1.37C型钢构件的允许剪力为8761.24N。

计算换算系数

qs=1-1.1(D/d)

=1-1.1×(38/203)

=0.794

带标准孔的截面抗剪承载能力

Fqk=qsFq

=0.794×8761.24N

=6956.42N

采用减少的名义剪力计算最大的无支撑跨越长度。

这儿w=无系数的均布荷载,或ASD荷载组合×610=(0.479+1.915)×610=1460.34N/m

L=2×6956.42/1460.34

=9.53m

⒓校核弯矩能力

根据规范计算或从《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》一书的表6.3-2中查得203S41-1.37的弯曲能力是:

①Ma=Mn/Ω,Ω=1.67,

相当

Φb=∑rL/ΩL

=[(1.2×0.479+1.6×1.915)]/

[1.67×(0.479+1.915)]

=1.52/1.67

=0.91

当按照美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)计算带有38mm孔(有效截面)托梁时,名义弯矩(弯曲)能力,Mn是6001.016N-m。

对于有顶部边缘侧向支撑的简支跨:

=5.734m

⒔校核挠度限制

对于活荷载,Δ=L/480

对于全荷载,Δ=L/240

带有分布荷载的简支跨度挠度方程式是:

式中

L:单跨长度(m)

Ix:有效转动惯量,237.837cm4=0.00000237837m4

ω:每平方米荷载,

全荷载挠度校核(0.479+1.915=)2.394kN/m2

活荷载挠度校核为1.915kN/m2

E:弹性模量,203×109N/m2

托梁的中心间距是0.610m。

挠度限制:全荷载为L/240,或荷载为L/480。

15590×106kN/m2

=203×106kN/m2×384/5

求得

LTL=4.730m

LLL=4.044m

⒕校核腹板临界失稳能力

尽管在楼层托梁两端和集中荷载位置处都需要有腹板加强筋(因此,没有必要计算腹板临界强度),然而,下面楼层托梁腹板临界强度的计算示范了腹板临界方程式的应用。

未冲孔腹板(腹板没有孔)参考美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的C3.4部分。

美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)中的C3.4-1部分给出的公式适用于d/t<200和R/t≤6。对于254S41-1.37C型钢,条款均满足。

假定支撑长度最小为38mm。

k1=(1/25.4)2×4448.222=6.895N

k=σy/228=228/228=1(注意该截面不能用冷轧加工后的屈服强度σya)(C3.4-21)

C3=1.33-0.33k=1.33-0.33×1=1.00(C3.4-12)

C4=1.15-0.15R/t=1.15-0.15×2.156/1.44=0.925(C3.4-13)

Cθ=0.7+0.3(θ/90)2=0.7+0.3×(90/90)2=1.0(C3.4-20)

计算单个腹板临界力

Fcr=k1t2kC3C4Cθ[179-0.33(d/t)][1+0.10(N/t)](C3.4-1)

=6.895×1.442×1×1×0.925×1

×(179-0.33×203/1.44)

×(1+0.01×38/1.44)

=1539.92N

因为腹板上存在着孔,根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986),这个能力应该乘以腹板断裂缩减系数Rc。该例子属于没有加强肋的腹板,孔不在支撑长度范围内的端部一边荷载条件(荷载条件1)(图7.3-2,参见《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》第五章第五节)。

Rc=1.01-0.325(D/a0

+0.083(x/a0)≤1.0(5.5-6)

假定的“x”值大于或等于229mm,因此,腹板断裂缩减系数:

Rc=1.01-0.325(38/195.81)

+0.083(229/195.81)

=1.04

所以,

取Rc=1,

乘上腹板断裂缩减系数Rc后的能力是:

RcFcr=1×1539.92N

=1539.92N

因为

wf=1539.92N/m

Fcr=Lmaxw/2

所以

L=1539.92×2/2219.668

=1.388m

对于跨度大于1.388m,1539.92N的结果能力小于乘上系数的临界荷载,因而,需要腹板加强肋。

按照美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》(AISI,1986)计算,最大允许托梁跨度是基于剪切、弯矩和挠度计算出来的最小跨度。所以结果跨度是4.044m(受活荷载挠度控制,在表5.3-1中查得的数据是4039mm)。

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