作圆锥曲线,通过给定的点并与给定直线相切

本文是上一文的续篇。牛顿在《自然哲学的数学原理》中对这类问题进行了比较系统的研究。这里继续介绍牛顿的方法,和上一文相比,原则不变,即所用字母与原著相同,并用虚线代表对应的圆锥曲线,只在文字上略作调整以方便读者。和上一篇文章唯一的区别在于,本文略去了动画。以下未注明出处的,概出自于上一文所选版本的第一部分第五章。

命题 23 问题 15:作圆锥曲线通过四个给定点,并与给定直线相切。

情形 1:设 为已知切线, 为切点,、、 为另外三个已知点。

方法一

  1. 连接 、、;
  2. 过 作 的平行线,分别交 、 于 、;
  3. 过 作 的平行线,分别交 、 于点 、;
  4. 连接 ;
  5. 作 的平行线,分别交 、 于点 、;
  6. 连接 、,两直线交于点 。

点 即为所求。

方法二

  1. 连接 、、、、;
  2. 在直线 上找到一点 ,使角 等于角 ;
  3. 在直线 上找到一点 ,使角 等于角 ;
  4. 连接 ;
  5. 在 上任取一点 ,连接 、;
  6. 在 上找到一点 ,使角 等于角 。

点 即为所求。

情形 2:设已知四点 、、、 均不在切线 上。

作法:

  1. 连接 、,二者交于点 ,与所给直线分别交于点 、点 ;
  2. 在 上找到一点 ,使

点 即为切点。(依 在线段 内部和外部的不同,有两个满足条件的点,前面只画出了一个。后略)

以上涉及求比例中项及分线段为已知比(注意是两个已知乘积的比,方法附于篇末),均可由尺规做出,难度不大,但步骤较繁。

命题 24 问题 16:画一条圆锥曲线,使它通过三个已知点,并与两条已知直线相切。

设 、、 为已知点,两条直线分别为 、(注意,、 两个字母是原著里没有的,补充这两个字母是因为原著喜欢提前用到后面才作出的点的字母,与现代表达方式不同)

作法:

  1. 连接 ,分别交直线 、 于点 、;
  2. 连接 ,分别交直线 、 于点 、;
  3. 在直线 上找一点 ,使
  1. 在直线 上找一点 ,使
  1. 连接 ,分别交直线 、 于点 、,点 、 即为切点。(、 均可在线段 、 的内部或者外部,图中只画出了一种情形。后略)

如何分一线段 于 点,使 ?(其中 、、、 均为已知线段)

作法:

  1. 任意作一线段 ;
  2. 作线段 ;(利用平行线分线段成比例可作)
  1. 类似于上一步,作线段 ;
  2. 分线段 于 点,使 。

点 即为所求。

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