九年级竞赛题2020-09-19

题目

要说难度,其实也没什么难度,只是式子的变形和公式的运用。有时候题目做不出来,可能不是没有方法,而是因为懒,所以只有尝试了才知道自己的能力到底如何。

分析:题中只有一个式子,而且注明了其是完全平方,结论让证明三个字母相等,两个入手点,第一个就是结论,由题中提示的平方,可以联想到要让a=b=c,那么如果能出现平方相加=0的那种式子,还是有希望的;第二个就是条件,完全平方有固定的式子,即a²+2ab+b²这种,所以只需要将题中的式子进行变形,让其符合这种形式,再让各系数一一对应即可。

解答:

首先对原式进行展开,得

3x²+2(a+b+c)x+ab+ac+bc

既然是完全平方,那么△=0

4(a+b+c)²-12(ab+ac+bc)=0

即(a+b+c)²-3(ab+ac+bc)=0

展开合并得

a²+b²+c²-ab-ac-bc=0

两边同乘2

2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0

a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²=0

即(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0

所以a=b,a=c,b=c

即a=b=c;

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