【七下数学】 不等式典例详解（上）（含几何画板GIF秒杀）

《一元一次不等式》是苏科版初一数学的最后一章，许多问题可与方程结合，与数轴结合，如再加入参数，可以说是千变万化．今天，我们先从三大类问题入手，借助数轴的动态GIF分析整数解问题，以及含参不等式的相关问题．

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——写在前面

01

一、动图秒杀整数解

例1：

若关于x的不等式x＜a的正整数解只有1，求a的取值范围．

分析：

我们直接借助几何画板，画数轴进行动态演示．

接着，我们再把5种情况分别展示如下：

x＜a已经是解集形式，根据正整数解只有1，

可以排除情况1，从而确定a＞1，那么仅仅如此么？

不难发现，当a在向右移动的过程中，满足x＜a的正整数在增加，要使得正整数解只有1，则a＜2，可以排除情况5，否则此时正整数解有1，2．

也就是说，我们找到了两个临界点，1和2，a的范围可以初步确定为1＜a＜2．

但是，还有一个问题，这两个临界点能不能取到呢？我们再分别来观察一下．

显然，情况2下，当a取1，则不等式解集为x＜1，此时没有正整数解．因此，临界点1不可取．

同理，情况4下，当a取2，则不等式解集为x＜2，此时恰有正整数解1．因此，临界点2可以取．

解答：

1＜a≤2．

变式1：

若关于x的不等式x＜a的正整数解只有1个，求a的取值范围．

分析：

题目仅与例1一字之差，也就是说，我们得先确定这个正整数x是几，会是比1大的整数吗？

显然不会，因为如果这个正整数是2，则a＞2．而1也比此时的a小，那么就会出现2个正整数解，与原题矛盾．因此这个正整数只能是1．

接下来的过程与上题完全一样．

解答：

1＜a≤2．

变式2：

若关于x的不等式x＜a的正整数解只有2个，求a的取值范围．

分析：

本题又与变式1一字之差，我们要先确定的是，是哪2个正整数．借助数轴我们可以确定，应该是1，2．那么临界点必为2，3，最后只需考虑哪个临界点可取等号．

解答：

2＜a≤3．

变式3：

若关于x的不等式x≤a的正整数解只有2个，求a的取值范围．

分析：

本题又与变式2一字之差，根据先前积累的经验，我们可以确定，三个正整数必为1，2．那么临界点必为2，3，此时又要考虑哪个临界点可取等号．

当a取2，则解集为x≤2，此时正整数解为1，2．因此，临界点2可以取．

当a取3，则解集为x≤3，此时正整数解1，2，3．不符合题意．

解答：

2≤a＜3．

以上几题就是根据不等式整数解的个数，来求参数范围的最典型例题．今后的题目只是在这最基础的类型上稍作变形，对于这一类题，我们可以按以下几个步骤来解题：

1.求出不等式解集（用含参数的代数式来表示）．

2.画数轴，初步确定范围（多次练习你会发现，两个临界点必为相邻的整数）．

3.判断两个临界点中，哪一个可取等号．

4.最终确定参数的取值范围．

——小结

02

二．不等式性质运用

在苏科版的教材中，不等式的性质为2条，但第2条内容较多．我们可以将第二条中的两种情况分解开来，方便记忆．

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

而在含参数的不等式中，参数经常出现在未知数的系数位置，来考察同学们对不等式的性质的掌握情况．

例1：

分析：

根据不等式两边同除以a－5，不等号方向没有发生变化，我们知道这里用到了不等式的性质2．

解答：

由题意得，a－5＞0，a＞5．

变式1：

解答：

由题意得，a－5＜0，a＜5．

变式2：

解答：

变式3：

解答：

03

三．解集确定&解集相同

在方程组的应用中，我们已经遇到过同解问题，而不等式的解集相同问题虽然类似，但不尽相同，主要的差别在于，我们求的是不等式的解集，而解集是无法代入另一个不等式中的，具体解法我们从例题入手．

例1：

分析：

不等式的解集一旦确定（结果中不含参数），则提供的参数的值也应确定．但由于解集无法代入，我们应先用含参数的代数式来表示不等式解集，然后保证不等号右边代数式的值与给定解集右边的数值相等．

解答：

x－m＞9－3m，

x＞9－2m，

∴9－2m＝1，m＝4．

例2：

(a－1)x＜a＋5的解集与2x＜4的解集相同，求a的值．

分析：

显然我们先求出不含参数不等式的解集，再用含参数的代数式表示另一个不等式的解集，令两个解集不等号右边的值相等即可．

解答：

未完待续……

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