【八上数学】分割全等图形&三角形旋转全等中的“对应”
终于迎来开学季
写在前面
转眼已经开学一周，不知同学们是否正式进入了开学状态，本讲开始，我们从八上的《全等》出发，来谈谈怎样分割全等图形，以及图形变化中的“对应”问题．
一、怎样分割全等图形
例1：
请把一个正方形分成四个全等的图形，你有多少种不同的分法？
分析：
这是一个小学里就经常做的题目，相信同学们还是可以画出几种的，但解决这类题的关键是什么呢？其实，我们通过几种画法，不难发现，我们首先要把正方形一分为二，分成两个全等的图形，那么必然要经过原正方形的中心，即对角线的交点，这时候再一分为二，问题就解决了，可以通过平移，旋转，翻折等图形变化得到．所以，本题应先找中心！
解答：
例2：
请把一个等边三角形分成两个、三个、四个全等的三角形，你能把它分成三个全等的四边形吗？
分析：
上题中，我们只需画出全等图形，找到中心，自由发挥即可，但本题有所限制，相信分成两个，四个不难，大家都想到了从边出发，找中点，而要分成三个，则需要从角出发．同时，我们也可以观察，分成的几个小三角形可以通过怎样的图形变化得到．
而要分成三个全等的四边形，则只需在分成三个全等的三角形基础上，稍作旋转变化即可．
解答：
例3：
将下图分成四个全等的图形，而且每一个图形中恰好有“巧分图形”四个字．
分析：
图形中有36个小方格，平均分为四份，则每一份有9格；
因为每一份图形中恰好有“巧分图形”四个字，所以第一步必须要把相同的字分开；
由之前的经验，一般来讲，分成的四个全等图形可以通过旋转后重合，而旋转中心必然是大正方形的中心点，所以中心点周围的四个方格应该是分属于四个图形的，其中有一块已有“巧”字，则“巧”字只能与下面一格的“图”字相连．
解答：
二、图形变化中的“对应”
我们知道，全等图形是指两个能够完全重合的图形，研究两个图形的关系，通常可以通过平移，旋转，翻折得到．
以三角形为例，其组成元素是边和角，全等三角形的对应边相等，对应角相等是我们重点需要研究的，我们就以三种变换的最基本图形为例，来感受下对应！
在书写中，为了方便，在由全等得到对应边，对应角相等时，我们把同一个三角形中的元素写在等号的同侧，同样注意字母对应！
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1、字母对应 图1中，△ABC沿着射线BC的方向平移了BE长的距离，到了△DEF，因此有△ABC≌△DEF． 图2中，△ABC沿着边AC翻折后得到了△ADC，因此有△ABC≌△ADC． 图3中，△ABC沿着AF所在直线翻折后得到了△ADE，因此有△ABC≌△ADE． 图4中，△ABC绕着AC中点，旋转180°到了△CDA，因此有△ABC≌△CDA． 图5中，△ABC绕点A逆时针旋转了∠BAD大小的度数，到了△ADE，因此有△ABC≌△ADE． |
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2、对应边： 能互相重合的边，一定是组成其中一个三角形的三条边与组成另一个三角形的三条边对应． |
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3、对应角： 能互相重合的角，一定是组成其中一个三角形的三个角与组成另一个三角形的三个角对应． 图1中，∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE． 图2中，∵△ABC≌△ADC，∴∠ABC＝∠ADC，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DAC． 图3中，∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∠BCA＝∠DEA，∠BAC＝∠DAE．这里的∠A是公共角，可作为对应角，用三个字母表示时，不易混淆． 图4中，∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC． 图5中，∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∠BCA＝∠DEA，∠BAC＝∠DAE． |
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4、其他对应 图1中，还有相等的线段，BE＝CF，但值得注意的是，这两条线段都是“对应点的连线”，或者说是“对应线段”，更直观的，看作“平移线段”．但在说明相等的理由时，需利用等量减等量，即等式性质． ∵BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF． 图3中，还有相等的线段，BE＝DC，同样的，这两条线段都是“对应点的连线”，或者说是“对应线段”． ∵AB＝AD，AC＝AE， ∴AB－AE＝AD－AC，即BE＝DC． 还有相等的角．∠BEF＝∠DCF，但值得注意的是，这两个角不是“对应角”，证明方法略． 图5中，还有相等的角．∠BAD＝∠CAE，同样的，这两个角不是“对应角”，可以直观的看作“旋转角”．但在说明相等的理由时，需利用等量减等量，即等式性质． ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 当然本题中还有与∠BAD、∠CAE相等的角，我们可以借助八字形得到． 如图，∵∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠HFD． 同理，∵∠C＝∠E，∠3＝∠4，∴∠GFC＝∠CAE． ∴∠BAD＝∠CAE＝∠HFD＝∠GFC． |
最后一个问题
那∠HFD＝∠GFC可以看作“旋转角”吗？
当然可以！
∵△ABC绕点A逆时针旋转了∠BAD大小的度数，到了△ADE，
那么，组成△ABC的三条边肯定在旋转！
很直观的，
BA绕点A逆时针旋转一定角度到了DA，
CA绕点A逆时针旋转一定角度到了EA，
则与BA，CA同等身份的BC，
一定也是绕点A逆时针旋转一定角度到了DE，
前两者中，
对应边BA，DA的夹角∠BAD看作旋转角，
对应边CA，EA的夹角∠CAE看作旋转角，
则对应边BC，DE的夹角(锐角)∠HFD，∠GFC，当然也能看作旋转角！
即“一组对应边的夹角，就是旋转角”，当然，到底是钝角还是锐角，视具体题目而定！
如果你还不信，我们用几何画板实操GIF来验证！！！
由此，我们可以继续研究捆绑旋转
“捆绑旋转”秒杀一类全等填空题
解析：
本题不难，DE⊥BC．常规方法必然是延长DE交BC于F，用八字形结论或者直接借助∠C和∠D之和为90°即可．
但是我们可以换个角度看问题，不难发现这两个三角形全等可以看作由其中一个三角形绕点A旋转90°到另一个三角形得到．我们更多时候关注了CA旋转到EA，BA旋转到DA，却忽视了三角形旋转时，是 “捆绑旋转”的，不仅是点在旋转，每条边都在旋转，那么CB也可以绕点A旋转90°到ED，则此时DE⊥BC．
解析：
这个模型是经典中的经典，其中隐藏的结论极多，这次我们先从最简单的全等入手．
不难发现△BCD≌△ACE，从“捆绑旋转”角度来看，△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE，则BD也绕点C顺时针旋转60°到AE，即∠BFA＝60°，∠BFE＝120°．
分析：
本题是一道SAS全等的简单题，有边等的条件，根据平行，可得内错角相等，即有“一边一角”条件，易得还有一边作为公共边相等，即可得证．但是在书写过程中，还是容易出现许多问题，现展现如下．
证明：
∵AD∥ BC，∴∠DAC＝∠BCA
错误1：对应顶点不对应
在△ADC和△ABC中
……
∴△ADC≌△ABC ( SAS )
剖析：
（全等符号在编辑时默认成这个样子，见谅） 这是最常见的错误，许多同学认为，这两个三角形的全等可以看作由其中一个沿AC边翻折得到，其实不然！由条件可知，四边形ABCD实为平行四边形，则AC为其对角线，则这两个三角形是关于对角线AC的中点中心对称，也可以说其中一个三角形绕AC中点旋转180°可与另一个三角形重合．
所以可知，若由△ADC绕AC中点旋转180°，则A点旋转后与原来的C点重合，C点与原来的A点重合，应为△ADC≌△CBA．
小结：其实三角形全等最重要的是确定对应顶点，在书写前，仔细观察三个对应顶点，做到一一对应，那么，接下来在写对应边和对应角时，字母顺序就不会错了．