八下第8讲 期中专题3 五大版块，10道小题，助力复习冲刺
写在前面
明天就是期中考试了，最近的模拟试卷还是暴露了很多问题，因此，本讲精选五大板块，10道易错的小题，助大家不再犯类似错误，不丢基本分．
一、菱形证明
菱形证明是很多同学的易错点，经常有同学喜欢证四条边相等，但这不是我推荐的，我们还是应该从平行四边形出发，借助对角线垂直，或邻边相等来证．当题目中出现翻折，或者有角平分线时，别忘了基本模型，平行＋角平分，构造等腰．
1、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．
求证：四边形ABEF是菱形．
分析：
本题少部分同学又想用四边相等来证，但BE＝EF是无法证明的，利用平行加角平分，构造两个等腰三角形ABE，BAF，即可证明AB＝BE＝AF，从而得对边相等．
解答：
证明：
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
∴∠BEA＝∠FAE
∴∠BEA＝∠BAE，AB＝BE
同理，AB＝AF，∴AF＝BE
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形
2、把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点 B和 D重合，点 A到点A1，折痕为 EF． 连接BE，求证：四边形 BFDE是菱形
分析：
本题很多同学证明十分繁琐，有证△A1DE≌△CDF的，有证△A1DE≌△ABE的，但用到了∠AEB＝∠A1ED，这里是否是对顶角还需证明，最简单的方法，还是那熟悉的基本模型．
解答：
证明：
∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，
由折叠知，∠2＝∠3，BF＝DF，
∴∠1＝∠3，∴ED＝DF，
又∵ED∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BF＝DF，∴平行四边形EBFD是菱形．
变式：如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．求证四边形BPEQ是菱形．
解答：
证明：
∵PQ垂直平分BE，
∴QB＝QE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
∠PEO＝∠QBO，
OB＝OE，
∠POE＝∠QOB．
∴△BOQ≌△EOP(ASA)，
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形．
二、两解问题
两解问题在几何中，常见于动点问题，不给图的图形位置不确定问题．在代数中，常见于出现正负解均符合题意的情况．
3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间 _________ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
分析：
这是动点问题与平行四边形存在性问题的结合型，对边已经平行，只需满足对边相等即可．注意点E为临界点，点Q可以在CE上，也可以在EB上．
解答：
4、在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________．
分析：
本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外，故而要分类讨论．同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形．
解答：
如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7
如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4
5、以正方形ABCD的一边CD为边，作等边△CDE，则∠AEB＝_______°
分析：
：本题无图，需自己画图，自然要想到△CDE可以在正方形内，也可能在形外．
解答：
当点E在正方形ABCD外侧时，
∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝150°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝15°，
同理可知∠CEB＝15°，
故∠ADE＝30°；
当点E在正方形ABCD内侧时，
∵AD＝DE＝EC＝DC＝BC，
∵∠DEC＝∠EDC＝60°，
∠ADE＝∠BCE＝30°，
∴∠DAE＝∠DEA＝75°，
∴∠EAB＝15°，
同理可得∠EBA＝15°，
∴∠AEB＝150°．
综上∠AEB＝30°或150°．
变式：
变式：以正方形ABCD的一边CD为边，作等边△CDE，则∠AEC＝_______°，∠AED＝_______°
解答：
∠AEC＝45°或135°，∠AED＝15°或75°
分析：
解答：
解答：
6
三、概念辨析
概念不清会导致很多同学的选择，填空出现错误，如平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，中点四边形，中心对称图形的概念等．
7、若顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ）．
A．菱形
B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形
D．对角线相等的四边形
分析：
本题很多同学错选A，中点四边形的形状取决于原四边形的对角线．很多同学记得，
顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形，顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形．
但反之，顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，原四边形对角线相等．
顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直．
解答：
B
8、下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有( )．
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
分析：
几何中的概念是很多同学的弱点，比如平行四边形的判定，除了课本所写的四种，其他的判定，基本可以从中心对称角度来考虑，或者连对角线，能否证明全等，一般反例会出现SSA．
对于中心对称图形，有些同学还是会和轴对称图形混淆，前者是旋转180°与自身重合，后者是对称轴两旁的部分翻折重合．
解答：
①项，一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故①项为真命题．
②项，根据正方形的判定定理可知，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．故②项为假命题．
③项，顺次连接矩形四边中点，根据“四边相等得到的四边形是菱形”可证得到的四边形是菱形．故③项为真命题．
④项，正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．故④项为假命题．
B
四、最值一例
9、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为______．
分析：
本题中，DE是矩形的一条对角线，要联想到矩形的对角线相等，自然联想到连接CP，问题即转化为求CP的最小值．
解答：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
连接CP，
∵PD⊥AC，PE⊥CB，
∴∠DCE＝∠PEC＝90°，
四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时， CP最小，
利用面积法，
∴DE＝CP＝6×8÷10＝4.8
变式：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， P为边BC上一动点，PE⊥AB于E， PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的的最小值是______．
解答：
2.4
五、计算问题
计算题虽然不是难题，却是很多粗心同学的失分环节．如先因式分解，能约分的不约分，导致最简公分母更复杂．带负号的整式的混合运算中，通分涉及变号．还有约分时，互为相反数的项，消去时要添负号，会忘掉．再有如加减时，还有同学与解方程去分母混淆．
分析：
本题中，第一项分子分母因式分解后可以先约分，最后是2，有同学不通分了．
解答：
分析：
本题中，－x＋1这个整式作为整体，前面是符号，添上括号时要变号．最后约分时，对于平方项的分母，可以换成相反数的平方，结果不变．
解答：
考
前
最
后
提
醒
1、带好必备的文具用品，考试时调整好心态，前3题慢慢做，整体把握好时间．
2、作图题用铅笔，格点中旋转90°，中心对称，看清要求．
3、分式计算千万别去分母了！！！
4、分式方程别忘了检验，把解代入最简公分母中，若是0，则是增根，无解．
5、分式方程应用题，选择一个量设未知数，则必从另外一个量中找相等关系建立方程，也千万不要忘了检验！！！
6、对于添加条件类的证明题，注意添加的就作为条件，去证明给出的结论．
7、遇到难题沉下心来思考，但不能耗费过多时间，总体时间分配如下，90分钟，其中选择填空最多35分钟，解答题45分钟，最后留10分钟检查，思考难题．
END
如
何
关
注