小学计算（六）

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将非零自然数按照图中规律排列，有些数会多次出现，有些数永远不会出现。请问，99在图中出现几次？最后一次的位置在哪里？最小的永远不出现的数是多少？

1  2 3  4  ……  97 98  99

2  3 4  5  ……  98 99  100

4  5 6  7  ……  100 101  102

7  8 9  10  …… 103  104 105

11  12 13  14  …… 107  108 109

……

每一行都是公差为1的等差数列，这个规律很显然，所以主要是列的规律。之前也讲过，如果规律不明显的话，一般来说是作差看看。

我们把第一列中的数挨个减一减，即2-1,4-2,7-4,11-7，得到的差依次是1,2,3,4，很明显了吧？

所以，第一列那些数的通项公式写出来就是1+n(n-1)/2，那么和我们最后要求的问题有什么关系呢？

当然有关系啊。只要第一列某行的数大于99了，后面就不会再有99出现了呀！所以我们就要考察n等于多少的时候，1+n(n-1)/2大于99.

通过估算（方法还是利用背熟的平方表），我们可以看到，n=15的时候大于99，也就是说，前14行中，第一列上的数都是小于99的，所以99一共出现14次。

在第14行里，起始项应该是92，所以99位于第8列，即最后一次出现在第14行第8列上。

最后一个问题，不出现的最小的数是多少？

首先要想，什么数会不出现呢？

直接能写出来的那是答案——不排除极少数极少数的孩子确实能一眼找到规律，但是大多数是有个探索的过程的，至少以我现在这样的水平也都是想了一下的，所以还是那句话：思考过程的学习最重要。

我的想法就是不上榜的数的特点是什么呢？现在每行和每列的数的规律都有了，每一行内数字增加幅度是很小而且固定的，但是每一列的前后两个数之间的差是越拉越大。所以对于某个数要想不存在这个数表上，一定要有个空隙能让它钻。

这个空隙怎么产生？由于行上的数增加的缓慢，列上的数增加的快，所以一开始位于数表第一列的某个数，一开始是比前一行最后一列数要小，但是增速很快，所以这个空隙就应该产生在上一行的最后一个数和下一行的第一个数之间。

用公式写出来就是：1+n(n+1)/2>99+n(n-1)/2，解得n>98，所以n=99.

把n=99代入，得到99行第1列的数为4951，而98行99列的数为4950，这两个数中间插不进一个整数！

原来是忽略了两个正整数中间插进一个正整数，那么这两个正整数之间的差要不小于2.

经过调整，我们马上可以得到，n=100是满足要求的最小的数，此时99行99列的数为5049,100行1列的数为5051，所以第一个不在数表上的数为5050.

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