三角形（五）

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对于三角形的中点相关的问题，我们来看一些简单的例子。

例1 已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证BD=CE.

一看这两条线段不在同一个三角形中的等量关系，很自然就要考虑全等，这对于初中生来说是再正常不过的。关键是：哪两个三角形全等？

我们找全等的依据就是看这两条线段的隶属关系。BD在△BDF中，CE在△CEF中，但是肉眼可见这两个三角形不可能全等，于是本题肯定要加辅助线。

当然，如果我们用梅涅劳斯定理的话就是一句话的事情，但是这个定理目前我们还没有介绍。有意思的是，我还打算在小学求面积部分讲这个定理的应用——因为实在是太方便了。

那么不用梅氏定理怎么做？

在确定了要加辅助线之后，接下来就是要考虑：加在哪里？

F是DE的中点，如果考虑取中，那么应该考虑AE或者AD的中点，但是无论取哪个中点，我们都无法和要证明的两条线段联系起来，于是此路不通；

作平呢？

作谁的平行线？

要想明白这个问题，其实还是要搞清楚我们为什么要作平？作平基本上就是为了把那些不在一个三角形的线段挪到一个三角形中去。于是我们可以尝试过E作EP平行于AB，交BC的延长线于P。

由于平行，∠P=∠B，∠DFB=∠PFE，DF=FE，于是可以知道△DFB全等于△EFP，推出BD=PE，看，我们已经成功地把要证明的两条线段转移到一起了。那么要证明这两条线段相等，必然是证明相对应的两个角相等。

等边证等角，等角证等边。

那么PE和CE对应的角分别是∠ECP和∠P，这两个角会相等么？

当然会了。。。关键是怎么证？我们注意到，此时还有一个条件：AB=AC没有用上，考虑到等边对等角，那么应该有∠B=∠ACB=∠ECP，而由于平行的原因，∠B=∠P，所以∠P=∠ECP，即PE=CE，命题得证。

例2  已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证AF=EF。

AF和EF在同一个三角形内，所以第一反应就是证明△AEF是等腰三角形，于是我们考虑是否能证明∠FAE=∠FEA。

仔细观察图，发现只有一个等角关系：即∠AEF=∠BED，但是从∠BED到∠EAF似乎有点远。。。看来不是条好的路子。所以想直接通过角的关系基本可以放弃，基本上可以肯定是要加辅助线了。

下一个问题：加在哪里？

既然有中线，我们很自然考虑倍长。于是我们把AD延长一倍到P，连接BP。由前面的结论可知，△ADC全等于△PDB。