因式分解（9）

甬上煌言

做最好的数学教育公众号——从小学到研究生。

来都来了，敬请关注“甬上煌言”，或者直接搜doubimather，逗逼数学人。

更加欢迎置顶。

终于，我们要开始讲神一样的待定系数法了。

贼老师

待定系数法可以算是因式分解的终极大招，也是多项式变形中比较高级的技巧。这个方法可以说是训练运算技巧的神器，对于培养解题的感觉是灰常灰常有用的。

什么叫解题的感觉？

就是猜的功夫！

贼老师

待定系数法培养你连猜带蒙的本事简直就是一绝。

看看我写的因式分解系列，有哪个方法之前吹嘘了这么多的？几乎没有吧。这么吹捧待定系数法的原因只有一个：真的很重要啊！

什么是待定系数法呢？

就是先猜高次多项式能分解成什么样子，对于某些不能确定的系数使之明确的方法叫待定系数法。

换句话说，也就是把待分解的式子先确定部分分解后的样子，其他的未知系数的项就设上未知数，然后利用多项式乘法展开猜测的表达式和原来式子对照，从而确定系数。

比如我们看个最简单的例子：

例1

当然，这个用我们之前所讲的双十字相乘法一步就到位了，这里用待定系数法来说明问题。

观察！首先观察多项式中的二次项部分：

如果原式可以分解，那么这部分必然可以分解（这里可以问娃：为什么？理由是二次项如果可以分解，必然是由两个一次项相乘得到），也就是(x-y)(x+3y)，那么后面的常数项呢？

这个时候，我们就可以进行待定系数了：

假设原式分解成(x-y+a)(x+3y+b)，那么我们再把这个多项式乘开，得到：

这时候就可以对比系数了：

a+b=3 ,3a-b=1 ,ab=2.

和普通的超定方程（方程个数多于未知数个数的方程）往往无解不同的是：

待定系数法得到的超定方程一般都是有解的。

那不一般的话呢？

要么这个不能分解，要么你做错了。

贼老师

所以我们解以上三个方程的时候，只要挑前两个，然后用第三个验证一下就好了。

解得a=1,b=2。

是不是有了大概的思路了？

我们再来看一个：

例2

如果用配方法，就变成

然后套用平方差公式。

问题是：如果你看不出来咋办？！

家长一定要注意给孩子灌输这样的意识：没有办法的办法，往往是最有用的办法。上面这个因式分解最简单的方法当然是用1的三次单位根来做，但是考虑到初中内容日益下降的阅读量，我只能停止这种蒂花之秀的行为——虽然这是个好办法。

那么配方有时候运气不佳死活看不出怎么办？

试试看待定系数——最后的一道防线。

我们知道任何一个多项式如果能分解，那么最终结果一定是若干一次式和二次式的乘积。既然这里是4次多项式，所以一定可以分解成两个二次式的乘积（当然可以继续往下分解成一次）。

我们注意到四次项和常数项都是1，所以可以假设分解成：

或

为什么可以这样设？

因为最高次和最低次的系数往往最容易确定，本题中两项的系数都是1，所以只能分解成1×1或者(-1)×(-1)，也就是上面两种组合。

（家长可以提问，为什么只有这两种？二次项系数不能(-1)×(-1)么）

先来看第一种情况：乘开来以后得到

所以a+b=0,ab+2=1，

a,b一个等于1，一个等于-1，

题目就做完了，不用看第二个了——因式分解的唯一性。

那如果分不出来呢？我们来看：

例3

我们假设能分解成：

或

同样的计算过程，我们得到

a+b=0,ab+2=0，此时ab虽然有解，但不是整数了；

对

做相同操作，也会发现a，b在整数范围内不存在。

也就是说：

在整系数范围内是不能分解的。

什么？我做错了？

贼老师

呵呵。。。。

虽然经常发生这样的事情，但这题，真没有。

贼老师

下课！

关注贼老师

好好学习

天天向上