超流体物理学，计算液氦在接近绝对零度的温度下的无摩擦流动

超流体是一些流体在没有任何黏度的情况下流动的物质（具有恒定的动能）。超流体的例子包括氦-3和氦-4。在2.17 K以下的温度下，氦-4变成超流体。氦-3只在0.0025 K以下才变成超流体。此外，当超流体被搅拌时，它们会形成“无限旋转”的漩涡。在这篇文章中出现的超流体相是玻色子，这与玻色凝聚有关，在玻色凝聚中有宏观部分的原子处于最低能量状态。由于他是费米子，而泡利原理禁止一个以上的费米子处于同一态，所以它产生超流体行为的机制是不同的。超流体通过费米子对的形成而产生，费米子对的行为类似于玻色子（库珀对）。
  • 图1：黑点是漩涡的核心
超流体也表现出所谓的喷泉效应，即含有超流体的受体会自动清空自身。图2显示了一种超流体作为薄膜爬上杯壁，然后在杯壁外下降，形成液滴。当液滴落入下面的液体中时，新的液滴会形成。这一过程一直持续到杯子变空为止。
超流体最早是由苏联著名物理学家、诺贝尔奖获得者彼得·卡皮察和加拿大出生的物理学家约翰·艾伦发现的。超流体的数学理论是由著名的苏联物理学家和诺贝尔奖获得者列夫·兰道提出的。
  • 图2：在左边，我们可以看到喷泉效应，超流体相中的液氦自发地慢慢清空杯子。它以一层薄膜的形式沿着碗壁往上爬，然后在碗外形成一滴，落入下面的液体中。这个过程一直持续到杯子为空。右边是超流体数学理论的发展者列夫·兰道。

克莱因戈登场

在经典力学的拉格朗日公式中，一个质点被理想化为质量为m的点。现在，假设它在某时刻的位置由x(t)给出，质点在一个势能为V(x)的场内运动。根据牛顿第二定律：
  • 方程一：牛顿第二运动定律
对应的拉格朗日函数L为：
  • 方程2：在势为V(x)的场内运动的粒子的拉格朗日函数表达。
其中K和V分别是动能和势能。我们可以设想点粒子从x(t)到场φ(x, y, z, t)的路径是用φ代替x，用φ代替t，在这种情况下，拉格朗日密度的形式如下：
  • 方程3：实标量场理论φ的拉格朗日密度。
注意，φ是实数标量场，不是波函数。方程3是洛伦兹不变量（对于在惯性系中相对运动的观察者，它的数学形式不会改变）。标量场φ符合所谓的克莱因-戈登方程：
  • 式4：自由场φ的克莱因-戈登方程。
  • 图3：场φ在时空中移动

复标量场

为了描述超流体的性质，我们需要在公式3中增加一层复杂性。复标量场的拉格朗日密度为：
  • 式5：复标量场理论φ的拉格朗日密度
这个拉格朗日量描述了相互作用的玻色子。我们对缓慢运动的玻色子的行为特别感兴趣。为了简单起见，让我们先从自由标量场φ的运动方程:开始，找到这类玻色子的动力学。式4的解是具有下列时间依赖关系的模态：
  • 式6：式4的解是该形式的模态
由于我们对缓慢移动的玻色子的行为感兴趣，我们将把公式6中的能量写成如下形式：
  • 式7：式 6中的能量
我们可以将式 6给出的模态分解为两个因子的乘积：
  • 式8：由式6给出的模态，其中φ振荡比指数因子慢得多（因为m>>ε）。
使用近似：
式4写成薛定谔方程：
  • 方程9：薛定谔方程。
非相对论形式的拉格朗日密度是通过插值方式得到：
经过一些简单的代数运算，我们得到：
  • 公式10：非相对论玻色子与短程力相互作用的拉格朗日密度
从势项g²ρ²中的负号，我们可以看出相互作用是排斥性的。为了避免在式10中有零密度的可能性，通常在L中引入非相对论性玻色子的有限密度：
  • 式11。
下式：
  • 方程12：墨西哥帽表达
是图4所示的墨西哥帽的表达式。
  • 图4：墨西哥帽。
式11的一个结果是φ逼近场φ的期望值:
  • 式13：墨西哥帽电位将迫使式12很小。
为了研究自发对称破缺，我们首先在极坐标下写φ：
  • 式14：字段ϕ写成极坐标。
然后在期望值上加一个小扰动：
  • 式15：在φ期望值上加一个小扰动。
将式(15)代入式(11)得：
  • 式16：拉格朗日密度以极坐标的形式表示。
其中总的散度项被去掉了。现在，为了消去h，我们把拉格朗日密度代入路径积分中，然后积分出来：
  • 式17：通过路径积分对h积分。
拉格朗日密度为：
  • 式18：无间隙模式玻色子流体的拉格朗日密度。
式15告诉我们，存在一种无间隙模式的玻色子流体。线性色散关系如下图5所示：
  • 式19：超流体中玻色子的线性色散关系。
自发对称破缺后得到的拉格朗日量的形式给了我们动量超流。无质量玻色子θ称为戈德斯通玻色子。戈德斯通玻色子的存在是自发对称破缺的一般结果。
图5显示了实验得到的超流体液体色散关系。当动量较低时，色散关系确实是线性的，当动量较大时，能量像我们预期的自由粒子。
  • 图5：超流体液体的分散关系。横轴以A为单位测量。
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