物理学需要形而上
从对分析力学无需观测的思考，到理解Bessel方程的实质在复平面，再到反思中国古代哲学和康德哲学，作者阐述了“形而上”对物理学的重要意义。在作者看来，要突破现有理论，向物理学问更深层次的问题进而突破，需要形而上。
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理论力学经典教材中对分析力学的一句评价是可疑的
我十八、九岁的时候希望自学物理，问颜家壬先生必修课程并求推荐教材。关于理论力学课程，他建议使用周衍柏先生的《理论力学教程》。周先生于1961年出版《理论力学》，增删了一些内容之后，1979年易名为《理论力学教程》继续出版，累计印刷数量估计已经在百万上下。其中第三版名列高等教育出版社的“物理学基础理论课程经典教材”系列。
当年学到该书的分析力学部分，被一句不轻不重的评论弄得有点不知所措。这句话，至今还在。不过，很多老师多年来使用这本书作为参考教材，却没有注意到这句话。
要学习一个“引以为戒”的知识，该有多么的忐忑。可是，把分析力学中的每一个字都掰开来，也看不到由于数学推理较多而可能发生不良倾向的痕迹。
拉格朗日（1736-1813）是分析力学的创始人。1788年，距离牛顿出版《原理》（1687）差不多整整一个世纪。在牛顿力学中，力是一个关键概念。但是，拉格朗日颠覆性地重塑了牛顿力学，放弃了力这个概念。在拉格朗日力学中，实空间装不下这个理论系统，需要的是相空间。没有任何直接观测意义的动能减势能而构成的拉格朗日量，L=T-V，它对时间的积分即所谓的作用量，反而具有基本的意义。
可以追问如下问题：（1）既然拉格朗日量不具有观测意义，动能加势能而构成的哈密顿量，H=T+V，就有观测上的意义吗？（2）为什么不具有观测意义的量，居然是物理学的一部分？物理学不是描述客观规律的理论吗？不具有观测意义的量也是客观规律的一部分?
这些问题，不仅仅是物理学的一部分，而且是物理学中最有生命力的部分。如果要创造出新的物理学，只能从这里想办法。不是每位初学者都需要挖根，但是每位科学的学习者，都必须知道根何在。
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既然人类行走在复空间里，思维必定需要更大的空间
本学期岳麓讲坛的讨论环节中，有位观众从网络上发过来一个问题：为什么实数域中的数学物理方程，需要放到复数域中才能理解？参看下面的例子。
Bessel方程是一个定义在实数域中的二阶常微分方程，也是最为常见和简单的数学物理方程，形式如下：
这个方程有两个解。x=0是方程的奇异点，而不是解的奇异点。有一个解包含了点x=0，另外一个解不包含这一点。这两个解分别称为第一类和第二类Bessel函数。它们都不是初等函数，而是超越函数，可以用无穷级数表示，也可以用积分形式来表示。而且它的积分表示，只能定义在复平面上，
积分回路必须包围t=0的点。这个积分，其实就是Bessel方程的积分形式。
如果建立方程，仅仅从测量的角度，实数域就够了。但是，如果要认识并理解这个问题，必须深入到复平面上去。
那么，实平面和复平面，到底哪一个是问题的本质平面? 这是问题的第一层次。问题的第二层次是：什么是真实？什么是实在？什么是存在？问题还有没有第三层次? 肯定有，但是我问不出来。
作为理论物理专业的从业者，我会说，复平面是本质的！而自然规律的真实，是一种理性的真实。
形而上学（metaphysics）不同。形而上学关心的是，比这些问题还要基础的问题。根据《斯坦福哲学百科全书》（Stanford Encyclopedia of Philosophy）的说法，形而上学研究三大问题：Being As Such, First Causes, Unchanging Things；中文的含义是：自在，元因和不变。注意，物理学并不需要形而上学的全副武装，这就是我刻意区分形而上和形而上学的原因。物理学的发展也许需要在形而上学中吸收营养，进而运用到物理问题上，但是形而上学不是物理学。物理学需要的形而上，终究还是物理学，不过不是直接联系经验的那部分物理学。
因此，尽管人类的五官只能直接感受到可观测的量，但是这些量的运行却是在复空间里。不要说人类的思维仅仅局限在可观测量是不够的，只关注复空间里发生的事情，也是远远不够的。人类要放眼更广阔的时空，才能达到在实空间作出颠覆性的创造。
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中国古代哲学批判
2014年，北京大学中文系的李零先生有篇重要的文章《<周易>是本什么样的书》。他认为，“在《易传》的阐释下，《易经》才成为中国自然哲学的源泉之一。阴阳讲世间万象的二元对立，五行讲世间万象的五位循环，它们一静一动，构成古人解释世界的两把钥匙。我说的（中国古代的）自然哲学，就是指这两把钥匙。“ 中国古代哲学的这两点，几乎能包罗万象，因而具有极其强大的解释功能。这里给一个分析力学的例子——虚功原理。“虚”，说明不是“实“。然而，全部的牛顿力学理论体系，都可以从这个”虚“中推导出来——这是一个奇迹！在虚功原理的旁边，我摘抄了《六韬·武韬》中的几个字作为感概，“道在不可见，事在不可闻，胜在不可知”。阴阳和五行放在这里，作为虚功原理的解说，是多么的合适！
但是，这些认识，完全是从人和人之间关系的认识中提炼出来的道理，不是客观事物和规律的反映。它仅仅还局限在经验的层面，不能进行推理和运算，也就不能揭示出自然理性真实的存在。
几乎所有的科学家，包含杨振宁、陈省身等等，都觉得中国古代哲学没有经过充分的发展，仅仅是经验的一些简练描述。这些描述，动静相济，画面美丽，朗朗上口，任人解说，就是没有定量上的预言能力。
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分析力学是康德哲学的物理实现
图片来自：安徽科技，2002年第9期。高亮为笔者所加
拉格朗日之前，牛顿力学一统天下。以牛顿的理解，他的力学是经验的直接提炼，连假设都不需要，因此他铁口直断“我不做假设”。因此，牛顿的思想中，没有独立于可观察现象的形而上。
果真如此吗? 如果没有形而上，就没有虚数；没有虚数，就没有量子力学，遑论电脑、互联网。在历史上，科学上关键的突破来自于拉格朗日。他发现牛顿力学可以用形而上的思想统一起来。这些思想包括虚功原理、拉氏量、最小作用量原理、变分法、拉氏乘子法等等，这些才是现代科学的直接基础。反过来，如果直接从牛顿定律出发，找不到任何通往当今世界的直接通道。拉格朗日（1736-1813）和康德（1724–1804）同年代，而且还同在普鲁士科学院工作。以我的能力希望理解康德哲学，无异于希望骑自行车到月亮上去，好在我不需要这样做，物理能帮我理解康德！
2014年，意大利理论和应用力学联合会主办的刊物Meccanica（《力学》），发表了一篇编者按（Editorial），题目是“Lagrange and his Mecanique Analytique: from Kantian noumenon to present applications” （拉格朗日和他的《分析力学》：从康德的本体论到现代应用）。文章认为，拉格朗日是一位最大的形而上学分析论者。这里的形而上学，指的就是康德认为的“独立于经验”的意思；而这里的分析论者，指的是当年数学分析大发展的时期，拉格朗日是数学分析的大家。马修（Mathieu，1835-1890）认为：假如我们想要找到客观实在的特征，就必须不能求助于经验这样一个概念；而是应该求助于先验。拉格朗日就是这样做的。在他的分析力学中，虚功原理是一个公理。物理直接处理自然规律，但是形而上是物理的前身。分析力学是理性力学，也就是，不必求助于经验就可以直接建立起来。
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结 语
理想定律的力学的世界是经验和现象级别的世界，而理解自然只能进入柏拉图的世界才能完成。康德的本体论反映在拉格朗日分析力学著作的字里行间，如此完美和自洽，任何一幅示意图，都会打破拉格朗日理想中的力学世界。
很喜欢Hadamard（1865-1963）如下的话：“The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.” （在实数域中两个真切之间的最短的路程经过实数域）。希望读者也喜欢。