半角旋转几何综合题引发的思考，八年级方法的局限性增大解题难度

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此题是哈尔滨的王老师留言分享的，由于今年比较忙碌很少有精力去研究题，所以分享文章的时候也不多，录视频都是假期不休息或者平时晚上有力气的时候录几个，能坚持分享就挺不容易了。所以此题也是几天后才看的，所以很多人留言或者问题我都是拒绝的，确实没有精力去看，只能通过圈子或者一些群给大家搭建交流的平台。

话不多说，我们先看题目：此题是八年级正方形的综合题，一共三问，难在只能有八年级的全等及勾股定理去解题，九年级才学相似共圆及三角函数。偶尔大家觉得我分享了很多方法，题也比较难，会误认我我数学能力很强。其实我想说，你要愿意花一两天时间研究一道题，也会很厉害，很多方法是逐渐尝试摸索出来，或者逐渐优化，这个思考的过程很重要，由于精力有限思考也是断断续续的。

我们先看第1-2问的构造思路，通过四边形对角互补共定点一端线段对应相等想到旋转构造，对于第2问来说第2个图实用性很强，可以瞬间推出结论；

第三问需要利用角平分线所分线段对应成比例，这里八年级面积转化可以证出，这是以前分享过的图片；

第三问先证∠CED=45°

解法一：通过已知的2倍关系结合角分线比例关系，可以直角算出AE和DE关系，在通过旋转造全等结合面积求出正方形的边长，最后求CH长度仍然用角分线比例关系；

解法二：构造思路通过已知条件找角的关系，∠EAD+∠EDA=45°，结合角度关系通过正方形十字架垂直全等构造半角模型，再通过旋转证出线段关系，通过设未知数在直角三角形中勾股定理即可求出AE和FG的关系，从而表示出AE和BQ，利用面积求出边长，再结合角分线所分线段成比例求CH长度；

解法三：我用了一个逆推中位线，但可能八年级也不能用，这个推出中点后求解很方便，只是提供个思路，大家可以借鉴下。当然求解CH方法也不唯一，我利用EH是角平分线所分线段成比例，求出HD，再结合直角三角形求解。也可以连接AC，因为AC和BD垂直，直接在勾股求CH即可。

根据解法三完善成八年级解法，这么构造后计算量大大降低，利用三角形底和高的关系进行转化，断断续续想了两天逐渐优化。

此题是典型的半角旋转结合12345题型的结论，如果九年级或者中考出现，很多方法都可以用，此题就没什么难度可言了。初中平面几何之所以难，就是难在方法要符合学生的认知规律，有年级限制及解法限制，毕竟要面向全体学生。