拓扑学的本质——孔的数量，几何学最伟大的发现

数学家们（尤其是研究空间关系的拓扑学家）是如何看待洞（孔）的呢？

在日常语言中，“洞”有几种不同的含义，一种是地上的坑，另一种则是物体上的开口，如穿山越岭的隧道或纸上的孔。还有一种是完全封闭的空间，比如奶酪中的气穴。拓扑学家会说，除了第一个例子外，所有的例子都是洞。但是为了理解为什么以及为什么数学家会关心洞，我们必须回顾一下拓扑学的历史，从它与几何学的区别开始。

在几何学中，圆形和多面体等形状是刚性物体，它们的属性有长度、角度和面积等。但在拓扑学中，形状是有弹性的，就像用橡胶做的一样。拓扑学家可以自由地拉伸和扭转形状。允许剪切和粘接。球体和立方体是截然不同的几何物体，但对拓扑学家来说，它们是无法区分的。如果你想从数学上证明T恤和裤子是不同的，你应该去找拓扑学家，而不是几何学家。解释是，它们有不同数量的洞！

莱昂哈德·欧拉在18世纪开始了对形状的拓扑学研究。你可能会认为，到那时数学家已经知道了关于多面体的几乎所有知识。但在1750年，欧拉发现了我认为最伟大的定理之一：

如果一个多面体有F个多边形面，E条边和V个顶点，那么V - E + F = 2。

例如，一个足球有20个白色六边形和12个黑色五边形，总共有32个面，以及90条边和60个顶点。60 - 90 + 32 = 2。这一基本的观察结果与数学的许多领域都有很深的联系，而且非常简单，可以教给幼儿园小朋友。但它却躲过了欧几里得、阿基米德和开普勒等伟大几何学家，因为它的结果并不依赖于几何学，而是拓扑学。

欧拉假设多面体是凸的，这意味着连接任意两点的线段完全在多面体内。不久之后，学者们发现欧拉公式的非凸例外。例如，在1813年，瑞士数学家西蒙·吕维尔认识到，如果我们在多面体上打一个洞，使它更像甜甜圈，改变它的拓扑结构，那么V - E + F = 0。

有趣的是，虽然欧拉和吕维尔把他们的多面体想象成实心的，但欧拉公式仅用零维顶点、一维边和二维面来计算。所以欧拉数（V - E + F）实际上是从多面体的二维表面推导出来的。我们可以把这些形状想象成空心的贝壳。

此外，重要的是对象的拓扑结构。如果我们用橡皮泥做一个多面体，用记号笔在边缘上做记号，然后把它搓成一个球，面和边会变弯，但数量不变。对于任意形状的球面，它的欧拉数是2；对于像甜甜圈一样的环面，它的欧拉数是0；对于平面圆盘，欧拉数是1等等。每个曲面都有自己的欧拉数。这种对欧拉公式的拓扑理解最早是在1861年由约翰·林克所写的一篇文章中提出的。

• 欧拉数V - E + F，对于球面是2，环面是0，圆盘是1，双环面是-2。

大约在同一时期，伯恩哈德·黎曼在研究复数中观察到一种计算孔洞的方法是通过观察物体在不被分割的情况下可以切割多少次。对于一个有边界的表面，例如一个有两个边界圆的吸管，每次切割都必须在一个边界上开始和结束。因此，根据黎曼的说法，因为一根吸管只能被割一次，所以它只有一个孔。如果表面没有边界，如空心的环面，可以被切割两次，所以根据这个定义，它有两个孔。

• 一根吸管可以切割一次而不断开，一根空心的圆环可以切割两次。

昂利·彭加莱是另一个拓扑学大师，他在1895年发表了开创性的文章《拓扑学》。在这部以及后续的五部续作中，彭加莱种植了无数的拓扑种子，这些种子在未来的几十年里生长、开花和结果。其中值得注意的是“同源”的概念，彭加莱引入了这个概念来将黎曼的思想推广到更高的维度。通过同源性，彭加莱旨在涵盖一切，从吸管到活页纸上的黎曼一维圆孔，再到奶酪中的二维空洞孔，甚至更高维度。这些洞的数量被称为该物体的贝蒂数。

同源的现代定义相当复杂，但它大致是一种将特定的数学对象与每一个形状联系起来的方法。我们可以从这个物体中提取出更简单的形状信息，比如它的贝蒂数或欧拉数。

为了了解什么是同源数和贝蒂数，让我们首先关注一维。我们将从在一个表面上看“环”开始。规则很简单，这些环可以自由滑动，但它们不能离开表面。在某些表面上，如圆盘或球体，任何环都可以收缩为一个点。这样的空间具有同源性。但其他表面如吸管或环面，都有绕在孔周围的环，它们具有非同源性。

环面向我们展示了如何形象化贝蒂数。我们可以在环面上画出无穷多个环，这环拥有一种优雅的数学结构。让我们把穿过中心孔和环绕管子的一个回路称为a（如下图）。因为一个循环可以绕着管子转一次、两次或任意次数，而且方向很重要，所以我们可以用a、2a、-a等等来表示这些环。然而，并不是每个环都是a的倍数，比如沿着环面的长周长绕着中心孔的环，我们可以称之为“b”（图下图）。在这一点上，环面上的任何环都可以由a和b组合而成，这意味着环在一维中的贝蒂数为2，与黎曼切的数目相同。

• 环面上有无穷多个不同的环。有向环路a、b和c都是不同的，但是c可以变形得到环路a和环路b的并集。

如果环c等价于环a和环b的结合，我们写c = a + b。同源的群结构是在20世纪20年代由埃米·诺特发现的。多亏了诺特的观察，数学家们现在可以利用代数来理解拓扑。例如，我们可以用数学的方法确定一根吸管、一件t恤和一条裤子都是拓扑结构上不同的物体。因为它们有不同数量的孔。

最后，拓扑学家是如何计算孔的呢？使用贝蒂数字。第0 个贝蒂数（b_0）的是一种特殊情况。对于单个连通形状，b0 = 1。正如我们刚才看到的，第一个贝蒂数（b_1）是一个形状的圆形孔的数量（像围绕圆柱形吸管的圆圈）。庞加莱向我们展示了如何在更高的维度下计算同源性以及相关的贝蒂数，第二个贝蒂数（b_2)是空洞的数量（就像那些在球体、环面和奶酪内的空洞）。更一般地说，b_n计算n维洞的数量。

尽管数学家已经对同源有了一个基本的认识，代数拓扑学仍然是一个活跃的研究领域，进一步将代数和拓扑学结合在一起。研究人员也在向其他方向拓展，发展计算数字表示形状的同质性所需的理论和算法，构建工具来识别大型数据集（通常位于高维空间）的潜在形状。

就像许多纯粹的数学领域一样，拓扑学已经证明了它在现实世界的价值，而不仅仅是解决一根吸管有多少洞的问题。