彻底理解世界上最美丽的等式，欧拉恒等式

在我们开始探索欧拉恒等式之前，让我们先来回顾一段令人惊叹的历史。

恋爱数字

大约在公元前500年，希腊人认为有些数字比其他数字更重要。特别是，他们知道两个具有非凡性质的数字。这两个数字是220和284。

在解释为什么这些数字如此有趣之前，我们需要知道什么是真约数。n的真约数，是一个比n小的自然数，它能被n整除。例如，6的真约数是1、2、3。220和228有趣的原因是220的真约数之和是284，284的真约数之和是220。这种关系叫做亲和关系，数字叫做亲和数字。

希腊人认为这是一个非常重要的关系，但他们找不到更多这样的数字。这种状态持续了大约一千年，直到伊本库拉在9世纪又发现了两对。那时候，数学中心已经从欧洲和埃及转移到阿拉伯世界，并在那里快速发展了近500年。

伊本库拉的发现并没有传到欧洲，那里只知道一对（220，228）。直到1636年费马发现了一对。他找到的数字是17296和18416。

在这一时期，两个数学巨人之间爆发了一场数学内战。即皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡尔。费马找到了一对友好的数字，因此笛卡儿必须另找一个。在1638年，他发现这两个数字分别是9,363,584和9,437,056。那时是没有计算器的。

费马和笛卡尔发现的那两对和伊本库拉发现的是一样的。因此，2000年来，数学天才们只发现了3对亲和数。

欧拉决定试一试，然后发现了58对亲和数！这太疯狂了。当然，欧拉不是靠蛮力试错去找的。欧拉找到了一种依靠除数和函数的特性以及一些天才的见解的方法。

你会问，是否有无穷多对亲和数？没有人知道……这又是数学的一个谜题。

最美的恒等式

欧拉在很多方面在数学家中都很有名，但有一种美比其他的更闪耀，它被称为数学中最美丽的等式。我将用几种不同的方式来解释这个等式，这样读者就会有一种直观的理解和数学上的理解。

首先，我们来陈述一下。

欧拉恒等式（1748）：

那么为什么这种关系如此美妙呢？

首先，正如威廉·邓纳姆所说：

如果你想做加法你需要0，如果你想做乘法你需要1，如果你想做微积分你需要e，如果你想做几何你需要π，如果你想做复分析你需要i，这是数字的梦之队，它们都在这个方程里。

在解释等式之前，我们先来定义一下这些数字。

0和1

0当然是一个数字，但它是一个非常特殊的数字。它是负数和正数之间的极限，它是唯一不能被除的数，最重要的是，它是加法恒等式，也就是说x + 0 = x对于所有的x都成立。

这可能看起来微不足道，但实际上，这是一个大问题，因为它是数学中群论的重要组成部分。群论是关于对称的数学，但那是另一篇文章。同样，数字1当然是乘法恒等式。

π的定义

π在数学中到处都是。从数论到概率论和三角学，但这是为什么呢？

圆与对称性和周期性都有关系，这些现象在自然界和数学中很多不同的事件中都有发生。从热辐射到随机运动和电磁波的振动，再到统计分布的密度等等。

π的定义当然是一个圆的周长除以它的直径，但它却不能被写成整数的分数形式。这就是我们所说的无理数。

e的定义

那么e呢？这个数字有点难定义，但我们会尝试一下。

首先，e是一个约为2.7182818的数字，是欧拉本人在1748年首次发现的。她是无理数。欧拉发现了如何计算它：

欧拉在1748年就是这么写的。如果你学过微积分，那么你可能会记得微分算子有一个恒等式，也就是函数：

即具有下列性质：

这是非常重要的，因为，首先，它使我们能够解微分方程。由于几乎所有的物理定律和系统都可以用微分方程来描述，所以微分方程在物理、生物、数学等科学中都非常重要。

因此，你可以将数字e描述为指数函数的底数，即给定时刻的变化率等于它在那一刻的值。

i的定义

那么数字i是多少？很多年来，人们不接受“i”这个数字，但话说回来，当负数第一次出现时，他们也不接受负数，所以我想这是一个成熟的问题。

在欧拉时代，人们对这个数字知之甚少。现在，对i和使用它的函数的研究被称为复分析，当然，欧拉从一开始就引领了这一奇异的新领域。

就像数学中的许多其他东西一样，我可以有很多不同的定义。有些比较正式。我们将坚持使用最简单的定义。i是具有以下属性的数字：

当然，没有实数满足这个条件，因为如果你把两个负数相乘，你会得到一个正数。我们有时称之为虚单位。

复数是一种形式为A +bi的数字，其中A和b是实数。复分析是对复变量的复值函数的研究，（在我看来）是数学中最美妙的学科之一。

但是，我们能用它们做什么呢？许多真实世界的计算都依赖于复数，从雷达技术到微分方程的解，再到量子力学等等。

太好了。现在我们了解了欧拉恒等式中的所有成员。下一个问题是，为什么欧拉恒等式是正确的。

为了回答这个问题，我们需要对数学运算和数字持开放的态度。

数字运算与几何变换之间的对偶性

首先，我想拓展一下你们的想象力。想象一下数轴，也就是实数，从负无穷到正无穷，中间是0。现在我们来考虑一下如果我们把数轴上所有的数加2会发生什么。在这种情况下，-2趋于0，-1趋于1,0趋于2，以此类推。换句话说，整个实数线将平移2个单位。这种转换叫做平移。

如果你加上0，那么就不会发生平移。

如果我们要做减法，也就是用一个负数相加呢？基本变换是一样的，但它是逆变换。因此，加减相同的数字相当于在每个方向上向左和向右移动相同的数量，从而回到开始的位置。这就等于加0，也就是，x -x = x + (-x) = 0。

加法和减法是关于平移变换的。乘法呢？

好吧，用上面同样的方法来思考，你可以在你的脑海中看到，用一个正数相乘实际上是对数轴的拉伸。除法实际上是伪装的乘法，是乘法逆变换。当然，这个变换的恒等式对应于乘以1。

那么乘以一个负数呢？它对应什么变换？

首先，我们需要记住乘以-x实际上等于先乘以x然后再乘以-1。实数乘以-1对应的是在0处的反射。你可以在数轴上取一个数字x然后乘以-1来看出这一点。然后在-x处对称地落在0的另一边。当x为负时，这个也成立。

当我第一次发现不同数字的变换和运算之间的双重关系时，我被一种美丽和完整的感觉所震撼。从来没有人向我解释过为什么一个负数乘以一个负数是一个正数。这是因为关于同一条直线的两个反射的变换等于恒等变换，也就是什么都不做的变换。这里的恒等变换转化为数字和运算，相当于乘1的动作。

这也可以用环理论中的同态理论来解释，但这个更先进一些，我后来才知道。我仍然认为数字几何是一种更美的方法。

现在我们已经解释了实数的经典运算是如何与它们对应的变换结合在一起的，以及它们到底是什么，但是我们缺少一个重要的变换，那就是旋转。

听起来我们必须在二维数字平面上发明一些新的奇怪的数字，不是为了解复杂的方程，而是为了我们变换的完整性。那么这些外来数字的性质是什么呢？我们取这个数乘以它，就等于逆时针旋转90度。

首先，我们可以通过将这个有趣的数字乘以1来得到它的位置，因为它应该等于它本身，但它也应该与我们将1旋转90度后得到的数字相同。因此这个新数位于数字平面上的点(0,1)，在这个新的数字系统中，现在变成（1,0）。

显然，当我们乘以这个数的平方时，我们旋转了180度。所以这个数的平方使1变为-1。因此这个神秘数字的平方等于-1。我们现在推导出的是这个数字就是i，虚数单位。i是位于数字平面（0,1）处的数。

所以复数的集合是一个非常必要的，它们负责旋转变换。结果是复数a +bi只不过是复数平面中的点(a, b)。

这意味着，我们所有的数字实际上都生活在一个二维世界中，每个点都对应一个复数。因此，所有实数也是复数，但并非所有复数都是实数。

欧拉无法获得这种几何视图，因为它是后来由卡斯帕·韦塞尔、卡尔·弗里德里希·高斯等人首先开发的。欧拉把i看成是一个具有负平方性质的数。

既然我们已经从这个角度理解了数字，并且记住了这种二元性，那么在直观地理解欧拉恒等式之前，我们只需要再多一个要素。

我们需要知道弧度是什么。想想看，为什么一个圆是360度？

原来这是巴比伦人和他们的十六进制数字系统遗留下来的。所以我们用另一种方式计算“度”。都是关于半径为1的归一化圆，也就是所谓的单位圆。这个圆定义了三角函数即cos, sin, tan, sec，等等，所以用它来定义度是很自然的。

我们只需选择单位圆的周长。所以360度对应2π弧度，180度对应π弧度，以此类推。

下面是一个事实，我们将给出一个简单的证明，但现在，我们将在这里陈述它：

当我们将任意复数z与这个数相乘时

结果就是z旋转了θ弧度！（很重要）

现在，我们准备再看一遍欧拉恒等式，用我们对数字及其相互运算的新理解。但这次写得有点不同：

这是什么意思呢？

其实很简单。我们知道，左边写着“旋转π弧度”，右边写着“在数字0处反射”。

所以欧拉恒等式的真正含义是：

旋转180度和在0处反射是一样的。

简单，美丽，优雅！

现在我们从几何的角度来理解了它，因为现在我们有了一些与方程相关的图，但这算不上证明。但我们从未展示过数字e与与它相关的复数的角度是如何相关的。同时，我想展示欧拉是如何证明他的等式的。

欧拉用一个更一般的结果来说明角与指数函数之间的关系，即

欧拉公式（1748）：

首先，它意味着指数函数是周期性的。当你画它的图形时它可能看起来不像但那是因为它的周期是虚的。周期是2πi，因为cos和sin的周期都是2π。

我们快速地看一下欧拉的证明。

首先，他写出麦克劳林级数的指数。

然后他把i从括号中拉了出来。注意，右边括号里的级数是交替的。在这之后，他认识到括号内的两个级数分别是cos和sin的麦克劳林级数。

为了解释指数函数和角度之间的关系，把一个复数想象成复数平面上的一个点，它的坐标是（a, b）。这个数可以写成a+bi，并且它到原点的距离。我们称这个距离为它的长度r，那么与实线的夹角呢？

如果我们从点（a, b）画一条直线到与虚轴平行的实轴，我们也从点到原点画一条直线，就形成了一个直角三角形。原点的角度就是复数a+bi的辐角。

求复数的实参（或角），我们从三角学中知道当斜边的长度是r，那么sin乘以r就是对边的长度，cos乘以r就是邻边的长度。

换句话说，在复数a+ib中，我们得到a = rcos(θ) b = rsin(θ)所以：

我们在上一个等式中使用了欧拉恒等式。换句话说，任何复数a+bi都可以用这种极坐标表示，用指数函数表示它的自变量和模。

但是欧拉的更一般的恒等式是如何证明的呢？

如果x = π， sin项消失（变为0），cos项变为-1就得到了欧拉恒等式了。这最终证明了他美丽的恒等式。

有人说欧拉是有史以来最伟大的数学家，有人说高斯才是，这并不重要。重要的是，我们确实是站在巨人的肩膀上。