【学府点拨】概率——随机世界与大数据时代
概率的意义
一骰子有6个面，一掷之下，会得到偶数之概率为何？骰子看起来没有异样，就假设每个面出现的概率皆相同，即均为1/6。而偶数面有2，4，及6等3个。因此所求之概率为3/6。这就是所谓古典的概率，基本假设是“相同的可能性”。先求出观测的现象共有几种可能，再求出其中有几件是我们有兴趣的。将后者除以前者，即为所要的概率。虽说是“古典”，这种概率的意义，至今仍处处可见。採用的范围包含诸如抽籤、玩扑克牌，及玩乐透彩等。又如某项工作徵才，报名的有82人，录取5人。若没有什么特别的资讯，便只能假设每人被录取的概率皆相同，即皆为5/82。
2009年7月底8月初，世界高尔夫球王老虎伍兹(TigerWoods)，参加在美国密西根州举行的别克公开赛(Buick Open)。第1轮打完，落后领先者多达8杆，排名并列95。引发他可能难逃职业生涯，首次连续2场比赛(前一场是英国公开赛(The Open Championship，在英国之外常称为BritishOpen))，提前被淘汰的话题。不过老虎毕竟不能小觑，打完前3轮后，伍兹跃居首位。
这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。
某君看上一女孩，惊为天人，觉得这是他今生的新娘。评估后信心满满，自认追上的机会有8成。旁人却都不看好，问他8成这一数字，是如何冒出来的？该君举证历历，一个又一个的迹象，显示那女孩对他很有好感。这个0.8的概率，就是所谓主观概率。主观概率当然也可基于过认识概率35去一些客观的事实。只是即使面对同样的资料，不同的人，可能有不同的判定，因而给出不同的主观概率(看过他其实没那么喜欢你(He’s Just Not That Into You)吗？片中那个叫Gigi的女孩，便常误解男生所透露的讯息)。有些现象就是不能重复观测。如核能电厂的意外，及彗星撞地球等。以追女孩为例，大约少有女孩，会让你做实验，反覆地追，然后数一数其中成功几次，来定下她会被你追上的概率。对这类无法重复观测的现象，在谈概率时，主观概率就常派上用场。每天早上出门，我们不是惯于抬头看天，判断一下今天下雨的概率有几成？只是往往父母认为的概率会大些，该带伞，而小孩所认为的下雨概率会小些。
虽说“主观”，但仍要合理。例如，考试有及格与不及格。若认为会及格的概率为0.9，这没问题，人总要有点自信，但若又同时担心有0.8的概率会不及格，那就不行了。各种可能性发生概率相加要为1。即使是主观，可以独排众议，仍须自圆其说。不能说，既然是主观，便可以任意自定各事件之概率。因此不论是那一种对概率的解释，都自然地，或说必须要满足一些共同的规则。这点大家应能理解。
上述三种是常见对概率的解释，大抵也就是人们评估事件发生可能性之大小的几种思维。虽是针对不同的情况，但常能交互着运用。大家都听过曾参杀人的典故吧!有个与曾子同名的人杀人，好心者告诉曾母“曾参杀人”。曾母说“吾子不杀人”，继续织布。过一会儿，又有人来说“曾参杀人”。曾母仍继续织她的布，这么好的儿子怎可能杀人？但当第三人跑来说“曾参杀人”，曾母就害怕了，丢掉织布器具翻墙而逃。所谓“其母惧，投杼踰墙而走”。这故事出自战国策秦策二。因此当拿到一铜板，可主观地认为，政府发行不该会有偏差，两面出现的概率，应皆为1/2(这也可以是基于相同可能性之想法)。若投掷10次，正面出现8次，可能觉得有些奇怪。若继续投掷，结果100次中，出现80个正面，这时相对频率的观点，很可能便将显现。类如曾母，调整看法，不再认为此铜板公正。
当然，你可以不信邪，不论投掷的结果如何，皆认为那只是短暂的情况，意志坚定地认为这是一公正的铜板。这并没有不行，就像会有母亲，即使再多的人证，只要她没亲眼看到，她就不信儿子会杀人。要知随机现象，事件只要概率为正，不论概率值多小，便皆可能发生。毕竟铜板正面出现的概率为何，只有天晓得。但引进概率与统计，乃为了协助我们做决策可以更精准。而决策可以与时推移，并非不能更改。有如气象局对颱风会带来多少雨量，须密切掌握新的动向，而随时修正。要有随机的思维，如前言中劳氏所说的，从给定的结果，验证前提。因此针对100次投掷，出现80个正面，多数人面对此结果，还是会认为0.8的正面出现概率，较0.5的概率可信。稍后我们会再来看，10次中的8次，与100次中的80次，相对频率同为0.8，但提供的资讯，是否有异？
虽然已有上述三种对概率的解释，也涵盖了不少实际生活中所遇到的情况，数学家当然不会在此止步。他们喜欢抽象化，及一般化。像解方程式，会寻求公式，以表示出某类方程式的解，而非只满足于求出一个个的特例之解。又如当完全了解实数系统后，便会以公理化的方式，定义实数系统。即给一集合，没说是数字的集合，对其中的元素定义二运算，并给出10条遵循的公理(axiom，规则)。你好奇该二运算是否一为加法，一为乘法？而怎么没有减法与除法？名可名，非常名，数学家不认为你提出的是重要的问题。但用心体会后，你终于发现原来二运算，其一等同于加法，其二等同于乘法。也看出此集合中，有一元素根本就是0，而有一元素根本就是1。数学家对你的洞察力，仍不以为意，但同意你可以这样想。
什么叫以公理化的方式，来引进概率？先要有一个集合，称做样本空间，当做某一观测之所有可能结果的集合。可以真的有这一观测，或只是虚拟的。样本空间的某些子集合，是我们有兴趣的，这些就是一个个的事件。所有事件也构成一集合。最后定出一概率函数，即对每一事件，给一介于0，1间的值，为该事件之概率。样本空间、事件的集合，及概率函数，三者便构成概率空间(probability space)。这其中对样本空间没有太大要求，但不可以是空集合。而事件的集合，要满足若干条件。简单讲，就是你有兴趣的事件不能太少。譬如说，不能只对某事件A发生有兴趣，却对A不发生没兴趣。因此事件的集合要够大，至少该有的都得纳入。这有点像婚宴前拟宾客名单。可以请很少人，如只有双方家长。而一旦多列了某人，与他同样亲近的人便也要一併请。所以每多列1人，将不只是增加1人而已，而会随之增加几位。又概率函数，既然以概率之名，当然要符合过去大家对概率的认知，满足一些基本的条件。
在概率空间的架构下，不论采用何种方式解释概率的人，都可各自表述，找到他所以为的概率意义。但因抽象化后，不再局限于铜板、骰子，及扑克牌等，便能讨论较一般的问题，有够多的理论可挖掘。
与数学的其他领域相比，概率论的发展是较晚的。但公理化后，概率论便快速地有了深而远的发展，并成为数学中一重要的领域。这都要归功于二十世纪那位重要的概率学家，俄国的科莫果洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987)，于他1933年出版，那本不到100页的小书概率论的基础(Foundationsof the Theory of Probability)中所奠定。在此书中，他说：概率论作为数学学科，可以而且应该从公理开始发展，就如同几何、代数一样(Thetheory of probability as mathematical discipline can and shouldbe developed from axioms in exactly the same way as Geometry and Algebra)。