深度解析高考评价体系 5——必备知识（1）

七、必备知识——站在学科发展的高度重新审视

数学科甄选必备知识的原则是有利于高考与课程标准的对接,有利于高考与中学教学的对接,有利于考生整体把握数学知识体系。高考数学科的知识体系与课程标准知识体系总体是一致的,基本按照知识的发展脉络编排,按不同数学分支分成相对完整的知识系统,每个系统包括若干单元;但是,高考更加注重知识的系统性、整体性和结构性,更加注重完整的知识脉络。《数学课程标准》将数学课程内容分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动 5 个主题,高考数学将其整合,按逻辑体系将分散在必修课程和选择性必修课程中相互衔接的内容组成有机的结构体系。例如,在函数部分,必修课程讲授函数的概念、图像、性质,幂函数、指数函数、对数函数等,选择性必修课程讲授一元函数导数,在设计高考数学考查内容时,将这些内容有机整合,组成完整的函数系列知识。

例 1.(2016 全国 3 文理第 18 题)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014.

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明;

(II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.

面对这种“神题”,第一次出现,束手无策,只有接下来再查资料,站在科学的高度去思考。

相关系数在统计学又有什么样的地位呢?带着这样的疑惑,我开始翻看课程标准及说明,叙述如下:

变量间的关系,是人们感兴趣的问题,在现实世界中大量存在不能用函数模型描述的变关系,研究其关系显得非常重要,回归分析和独立性检验都是非常常用的统计方法,在统计学中占有很重要的地位。

百度得到如下描述:1885 年高尔顿第一次提出了“回归”的概念,10 年后皮尔逊提出了注明的皮尔逊相关系数 r,直到今天,这一相关系数也在被广发应用,100 年来,r 发展成更宽泛、更多样化、更概念化的统计量。

例 5.(2019 全国 1 卷第 21 题)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得 -1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得 -1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为 X.

【点评】全国卷数列的考查经过多次演变,数列从以前的压轴题,大题演变到 17 题,我们很多人认为数列不会再出现在 21 题的位置,结果 2019 年全国 1 卷第 21 题再次出现,那数列如何定位。站在学科的高度,连续和离散这是一个科学界持续关注的基本问题,同时,也对人们观察世界的本质提供基本视角,这个问题从古希腊开始争论已久,而且科学家们分成泾渭分明的两派,比如 17-18 世纪,自然哲学家为离子论(离散)和波动论(连续)争论不休,数列作为不连续的重要模型,地位极其重要。

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