任何科目的学习，首先要做的就是学好基础，抓好基础，巩固基础，数学更是如此。在高考数学众多知识点当中，函数占据着重要的位置，也是大部分考生的学习难点，如何学好函数成为教师、家长和考生非常关心的话题。同样，基于学习的科学规律，要想学好函数，那么我们也要先学好函数的基础，如单调性。在初中的时候，大家已经学过一次函数、反比例函数、二次函数这些简单的函数，对函数的变量定义和单调性等，都有一定的了解。进入高中之后，教材对函数的安排，无非在内容的深度和广度进一步加深，加强了知识的综合性和应用能力等。函数单调性既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要的性质，在高中数学内容里占有十分重要的地位。因此在高中课本中，设计了一些教学情境来引导学生实现对函数单调性意义的认识和理解，引导学生循序渐进地用数学形式化语言完成对动态数学对象进行刻画。不过书本上的知识点处于一种静态状态，而函数单调性却处于一种动态状态，如何让学生学会用静态的数学符号去理解动态的单调性，这就成了教师的教学难点和学生的学习难点。因此，在学生学习函数单调性的时候，这些疑难之处就成为我们重点研究对象和考试热点。定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(3)设A＝{(x，y)|f(x²)·f(y²)>f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋√2)＝1，a∈R}，若A∩B＝∅，试确定a的取值范围．解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)．由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，所以当x<0时，f(x)＝1/f（-x）>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0.(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.f(ax－y＋√2)＝1＝f(0)，即ax－y＋√2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋√2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：1、结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；2、可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．1、利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．3、图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f（x/y）＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由f（x/y）＝f(x)－f(y)，从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用。
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