【初中几何】一线三垂直模型，构造全等三角形

一线三垂直模型构造全等三角形

【模型说明】

一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.

常见的两种图形：

【典型例题1】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

当α=45°时，求△EAD的面积.

当α=30°时，求△EAD的面积

当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.

【答案解析】

∵AD∥BC,DG⊥BC

∴∠GDF=90°

又∵∠EDC=90°

∴∠1=∠2

在△CGD和△EFD中

∠DGC=∠DFE

∠1=∠2

CD=DE

∴△DCG≌△DEF

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∴EF=CG

∵AD∥BC,AB⊥BC,

AD=2，BC=3

∴BG=AD=2

∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关

【典型例题2】

如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP

【答案解析】

过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N

∵四边形ACFG是正方形.

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∴AC=AG,∠CAG=90°

∴∠CAH+∠ACH=90°

∴∠ACH=∠GAM

在△ACH和△GAM中

∠AHC=∠GMA

∠ACH=∠GAM

AC=GA

∴△ACH≌△GAM

∴CH=AM,AH=GM

同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP

∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

一线三垂直模型构造全等三角形

【模型说明】

一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.

常见的两种图形：

【典型例题3】

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.

【答案解析】

（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE

∴∠BDA=∠AEC=90°

∴∠ABD+∠BAD=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠EAC=90°

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∴∠ABD=∠EAC

在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

∠ABD=∠EAC

AB=CA

∴△ABD≌△CAE(AAS)

AD=CE,BD=AE

∵AE=AD+DE

∴BD=DE+CE

（2）在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

AB=CA

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AD=CE,BD=AE

∵AE=DE-AD

∴BD=DE-CE.

【典型例题4】

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=1/2BD.[

【答案解析】证明：延长CE、BA相交于点F.

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°

∴∠EBF=∠ACF.

又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

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在△BCE和△BFE中

∠EBF=∠CBE

BE=BE

∠CEB=∠FEB

∴△BCE≌△BFE(ASA)

∴CE=EF

∴CE=1/2CF=1/2BD

一线三垂直模型构造全等三角形

【模型说明】

三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。

【典型例题1】

如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.

【答案解析】

证明：作EF⊥AC于F，

∵EA=EC，

∴AF=FC=AC

∵AC=2AB

∴AF=AB

∵AD平分∠BAC交BC于D

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∴∠BAD=∠CAD

在△BAE和△FAE中，AB=AF，∠BAD=∠CAD，AE=AE

∴△ABE≌△AFE(SAS)

∴∠ABE=∠AFE=90∘

∴EB⊥AB.

【典型例题2】

如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.

【答案解析】

证明：延长BA交CD的延长线于点E.

∵BF是∠CBA的角平分线

∴∠CBF=∠DBA

∵BD⊥CE

∴∠BDC=∠EDB

∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB

∴△BDC≌△BDE

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∴CD=DE

∵∠BAC=90°

∴AC⊥AB，即△BAF是直角三角形

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°

∴∠BAC=∠BDC

∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED

∴∠DBA=∠ECA

∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90°

∴△CAE≌△BAF

∴BF=CE

∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE

∴BF=2CD.

来源：初中数学解题思路