研读一题,迎接初三数学期中检测

今天要讨论的这道题是一道老题,深入挖掘后别有洞天,笔者将借此题串联初三上半学期(“相似三角形”和“锐角三角比”两章)主要知识点。

已知,如图,在△ABC中,AE是中线,点D在边AB上,联结CD交AE于点G,若BD=DC,AE=AC

1

找出图中的相似三角形,求出相似比

(知识点:相似三角形的判定)

第一组相似/

第二组相似/

注:

① 因为△ABC∽△GCE,EG:AC=1:2,

所以AG:AC=1:2

② 因为DG:AD=AD:DC=1:2

所以DG:DC=1:4,DG:GC=1:3

2

求:AD:DB的值

(知识点:平行线比例线段)

分析

可视为直线CD截△ADE,以教材为标准,采用添加平行线构造基本型的策略,笔者认为比学会添加平行线更难的是发现需要添加平行线。

本题有很多种添加平行线的方法,还可以用梅内劳斯定理或面积法,读者可自行探索。

分析

过点A做BC平行线交CD延长线于点P

因为AP:EC=AG:GE=1:1,

所以AD:DB=AP:BC=1:2.

3

联结DE,已知BC=4,S△EGC=5,

求DE的长

(知识点:相似三角形的性质)

4

若tan∠ACD=0.5,AC=10,求DG

(知识点:解直角三角形)

解法一

过点A做AH⊥GC于点H

在Rt△ACH中,tanC=1/2,AC=10

AH=2√5,HC=4√5

在Rt△AGH中,AG=5,∴ GH=√5

注意:本题是典型的两边对一角,

可能GC=GH+HC=5√5(如上图)

也可能GC=HC-GH=3√5(如上图)

∴ DG=(1/3)GC=5√5/3或√5

解法二

过点E做EH⊥AB于H

已证∠BAE=∠ACD,即它们的正切值相等

AE=10,AH=4√5,HE=2√5

本题图形简洁,内含丰富,其中“第二组相似三角形”的发现,面积转化,添加平行线构造基本型,解三角形,利用几何关系(相似)列方程等皆是该阶段的重点和难点,弄懂一题可以收获多多,起到减负增效的功能。

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