干货 | 小议运放构成的放大器的频响与稳定性
首先要说明，本帖只针对电压反馈型运放构成的放大器，电流反馈型运放不适合本帖讨论的所有结论。为了简单，文中用“增益”字样描述电压放大倍数。
先简单描述一下电压反馈型运放运放的开环幅频特性。通常这种运放在频率相对较低的位置有一个主极点，当频率远低于主极点频率时，运放的增益是A0；在接近主极点频率时增益下降，在主极点频率处大约下降3dB；频率高于主极点后，增益趋于按照-20dB/dec斜率滚降，将此斜率一直延长到增益为0dB处的频率被称为增益带宽积（GBP）。由于运放存在高阶极点和可能的零点，开环频率特性在接近0dB处的斜率通常要改变（常见的是低于-20dB/dec），所以开环频率特性经过0dB的频率通常并不与GBP相同，尤其是非完全补偿型运放更是相差很大。
运放的开环相频特性是：在远低于主极点频率处，相位为0度；在主极点处约为-45度；高于主极点频率后趋于-90度；在幅频特性接近0dB附近由于高阶极点的影响，相位再次下降，通常全补偿型运放在0dB处约为-140度到-150度左右（也有超出此范围的，但肯定不到-180度），非全补偿型运放在0dB处的相位接近-180度甚至低于-180度。
如果不考虑高阶极点等影响，只用一个主极点描述运放的开环频率特性，那么其表达式是A(jf)=A0/(1+jf/fp)，其中fp就是主极点频率。另外，还有一个重要表达式是GBP=A0*fp.
下面考虑运放加入反馈后的闭环情况。为了避免混淆，用Ac表示闭环后放大器的频响。
先考虑一个最简单的情况：反馈网络全部由电阻构成，此时反馈系数F是一个实数。令反馈电阻为RF，运放反相输入端对地电阻为RG，则F=RG/(RG+RF).
根据负反馈理论，闭环后放大器的频率特性是
Ac(jf)=A(jf)/[1+A(jf)*F]
可以证明，在F较小（即放大器增益较大）的条件下，运放的高阶零极点对于闭环后放大器的影响很小，可以忽略，因此用前面只考虑主极点的运放开环频率特性代入上述关系，得到
Ac(jf)=(1/F)*{1/[1+jf/(F*GBP)]}
所以，闭环后放大器的幅频特性是
Ac(f)=(1/F)*{1/sqr[1+(f/(F*GBP))^2]}
由这个关系就可以推导在F较小时放大器的幅频特性，以及Ac、f与GBP三者的关系。
下面以一个例子说明。
设计一个音频放大器，要求增益为200倍，在22kHz处增益下降不超过1dB。若用一个运放实现，则该运放的GBP要求可以作如下估计：
-1dB换算为数值是1/1.122，反馈系数为F=1/200=0.005（假设是同相放大器，若是反相放大器则为1/201），根据前面的讨论就有
1/sqr[1+(f/(F*GBP))^2]>1/1.122
所以就得到了GBP的要求如下：
GBP>22kHz/{0.005*sqr[(1.122)^2-1]}=5647kHz
值得注意的是：运放闭环后的频率特性只与反馈系数有关，与放大器是同相放大还是反相放大等因素无关。一个典型的例子是：
一个反相加法器，RF=10k，两个加法输入端的电阻分别为10k与1k，此时两个输入的增益（绝对值）分别为1与10，但是由于整个放大器的反馈系数只有一个，就是F=(10||1)/[(10||1)+10]，所以两个输入信号的频响是完全相同的！
下面再讨论F接近1的情况。
当F接近1以后，A(jf)*F接近A(jf)，此时运放中的高阶零极点影响不可忽视。下面的分析中，假设在运放幅频特性0dB附近存在一个高阶极点，其频率为fp2（相应地将主极点改写为fp1）。这个假设与大部分运放的实际情况相差不大，但可以简化分析过程。
在上述假设下，运放的开环幅频特性将表述为
A(jf)=A0/[(1+jf/fp1)(1+jf/fp2)]
再将此式代入负反馈放大器的基本表达式，可以得到F接近1的闭环频率特性表达式为
Ac(jf)=(1/F)*(1/{1+jf*(fp1+fp2)/(A0*F*fp1*fp2)+[(jf)^2]/(A0*F*fp1*fp2)})
通常总有fp1<<fp2，所以上式可以改写为
Ac(jf)=(1/F)*(1/{1+jf/(A0*F*fp1)+[(jf)^2]/(A0*F*fp1*fp2)})
幅频特性可以写成：
Ac(f)=(1/F)*{1/sqr[(1-(f/fc)^2)^2+(f/(Q*fc))^2]}
这是一个二阶低通形式的特性，其中fc是转折频率，Q是品质因数，它们分别为
fc=sqr(A0*F*fp1*fp2)=sqr(GBP*F*fp2)
Q=sqr(GBP*F/fp2)
熟悉二阶低通特性的看官肯定知道，二阶系统在转折频率附近的幅频特性与Q值有关，稳定性也同样与Q值有关。当Q值为0.707时，转折频率处的幅频下降3dB；若Q值大于0.707则幅频特性在转折频率附近有一个凸起，Q值越高此凸起也越高，大约在Q值等于1.3时，幅频特性的最大凸起约为3dB.
由于这个凸起，使得Q值大于0.707的幅频特性的的-3dB频率右移，也就是说当Q值提高后可以使得放大器的闭环带宽有少许增加，代价是幅频特性的平坦度变差。
但是，Q值增加的另一个副作用是系统的稳定性变差。从理论上说，一个只有2个极点的系统，其相频特性永远不会低于-180度，但是实际的运放并不只有两个极点，所以若上述Q值过高，在其他极点的共同作用下，闭环系统的相频特性很可能在0dB处低于-180度，那时系统必然发生自激振荡。
观察全反馈的情况，此式反馈系数F=1，代入前面Q的表达式有
Q=sqr(GBP/fp2)
前面已经说过，一个非完全补偿的运放，它的第二个极点位于其开环频率特性0dB上方，或者说有fp2<GBP。因此这种运放（例如OP37）在全反馈条件下必然有Q>1，加上其他极点的作用，就使得它们的相位裕量不够，放大器发生自激振荡。所以这类运放都在其使用手册中规定了一个能够稳定的最小增益，例如OP37的最小稳定增益是5.
这里要注意的一点是：实际上确定放大器频率特性的是反馈系数F，在全电阻反馈网络的情况下，F=RG/(RG+RF)，这个值是同相增益的倒数，所以这个最小稳定增益是指同相放大的增益。如果接成反相放大器，在相同的反馈系数下，其增益是同相放大器增益减1，所以对于OP37来说，反相放大时的最小稳定增益（绝对值）应该是4.
前面的分析都是针对全电阻反馈网络的。如果反馈网络中带有电抗（常见的是电容，不一定在RF的位置，例如运放输出端的对地电容在考虑运放的输出内阻后就成为反馈网络的一部分），则情况愈加复杂，但是所有的分析方法和过程是一样的。关于运放输出端对地电容的影响我已经在前面有一篇帖子分析过了，其他情况限于篇幅不可能在本帖中继续展开，列位看官有兴趣者可以自行推导。