第37讲：《可将阶的微分方程及奇解与包络》内容小结、课件与典型例题与练习

一、可降阶的微分方程

可降阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了二阶的类型，可以扩展为如下三种类型:

• 类型(1)：

或者是可以解出以上描述的方程. 该类方程通过对右端项关于变量次不定积分，得到包含有个相互独立的任意常数的通解.

【注】 多项式函数只能由多项式函数求导得到，指数函数的导数或积分中一定包含有相应的指数函数.

• 类型(2)：

令，得一阶微分方程，

通过求解一阶微分方程的方法，求解该微分方程得，问题转换为类型(1)：

通过对其右端项关于变量次不定积分，即得最终的通解.

• 类型(3)：，其中

令，得到二阶微分方程，即

对于具有这类结构的微分方程，由于其不显含有 变量，由于，所以可以令，从而有，将原方程转换为关于为自变量的一阶微分方程

利用求解一阶微分方程的方法求解该微分方程的解，代入，这是一个以为函数， 为自变量的一阶可分离变量的微分方程，求解该一阶微分方程可得 ，于是问题转换为类型(1)：

通过对其右端项关于变量次不定积分，即得最终的通解.

【注1】从以上类型及其求解方法可以看到：可降阶的微分方程的求解最终归结为一阶微分方程求解！它们的求解都是通过逐次一阶微分方程求解来实现的！因此，《高等数学》教材对于常微分方程的研究对象大的分类就两类，一阶微分方程和线性微分方程.

【注2】实际中会借助微分的形式不变性和复合函数求导运算法则，也借助于换元法转换类型为以上类型或相应的一阶微分方程来计算.

【注3】高阶微分方程初值问题的求解，一般采取边求解，边确定任意常数的步骤进行，这样在一定程度上可以减少一定的计算量；同时，在计算过程中要充分利用等式所具有的一些特殊结构，达到简化计算的目的.

【注4】交换因变量与自变量的地位求解微分方程的方法也适用于高阶微分方程.

【注5】通过对微分方程等式两端求导可将低阶微分方程转换为高阶微分方程来求解，即所谓的升阶法. 值得注意地是求得通解后需要回代到原方程进行验证并得到正确的满足题意的结果！

二、奇解与包络

某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，它们不属于方程通解的积分曲线族.但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此处相切.在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络；在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解就称为方程的奇解.

【注1】一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平移线族

等都是没有包络的.

【注2】从定义知道，一阶微分方程的通解对应的积分曲线族的包络一定是奇解；反之，微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程通解的包络.因而，为了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包络.

【注3】从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解.正如课件中见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解.

【注4】注意克莱络方程求解过程与结论的应用.

参考课件

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