梯形辅助线的添法

梯形的内容虽然在新人教版初中数学教材中被删去了，但是很多梯形的问题都是转化为三角形和平行四边形的问题解决，故而在练习中还是有可能出现，在这次学校八年级的月考中就有所体现。

关于梯形的计算和证明，往往是根据解题的需要，添加辅助线，将梯形问题转化为平行四边形或三角形问题来解决，常添的辅助线有：
（1）平移腰，即过上底的一个顶点作一腰的平行线（如图1）

（2）延长两腰，构成三角形；（如图2）

（3）作梯形的高；（如图3）

（4）平移对角线，即过上底的一个顶点作对角线的平行线；（如图4）

（5）作经过上底的顶点和一腰中点的直线；（如图5）

（6）作梯形的中位线；（如图6）

（7）延长顶点与一对角线中点的连线。（如图7）

例1 已知：如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，求证：AB=DC

分析：要证AB=DC，需证△ABC≌△DCB而在这两个三角形中已有两边对应相等，只需证∠1=∠2，可设法构造全等三角形来证。

证明：作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则四边形AEFD是矩形，所以AE=DF

在Rt△ACE和RtDBF中，AC=DB，AE=DF，

∴Rt△ACE≌△Rt△DBF

∴∠1=∠2

在△ABC和△DCB中，AC=DB，∠1=∠2，BC=CB

∴△ABC≌△DCB

∴AB=DC

点评：对于等腰梯形和直角梯形问题，常需作出高，把梯形分为直角三角形和矩形，从而利用这些特殊图形的性质来解。

例2 已知：如图9，在等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数。

分析：由等腰梯形的性质得AC=BD，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD到AE的位置，则∠DBC=∠E，需求∠E，猜想△ACE是等边三角形。

解：过A作AE∥BD交CB的延长线于E，则四边形AEBD是平行四边形

∴AE=DB，AD=BE

∴CE=BC+BE=BC+AD=AC

∵梯形ABCD是等腰梯形

∴DB=AC

∴AE=AC=CE

∴△ACE是等边三角形

∴∠E=60°

∴∠DBC=∠E=60°

点评：对于与对角线有关的梯形问题，可过梯形顶点作对角线的平行线，把两条对角线和上、下底之和集中在一个三角形中，然后在这个三角形中应用有关定理解题。

总结完这些涉及梯形的辅助线，相信大家对于那道月考题的解法又有了新的认识，何不自己再试一试呢？