34解析几何解法技巧：辕门射戟-定点问题

34：辕门射戟 - 定点问题

在圆锥曲线问题中,经常考查过圆锥曲线C上的一点

,引出两条直线

,

分别是两直线与C的交点,当

时,直线

恒过定点,这样的问题我们称之为直角弦过定点问题.

根据圆锥曲线C的不同椭圆,双曲线和抛物线,有三种不同类型的过定点:

(1)椭圆的直角弦:在椭圆

上任取一点

,过

作两条互相垂直的弦

,则直线

恒过定点

(2)双曲线的直角弦:在双曲线

上任取一点

,过

作两条互相垂直的弦

,则直线

恒过定点

(3)抛物线的直角弦:在抛物线

上任取一点

,过

作两条互相垂直的弦

,则直线

恒过定点

既然证明直线

过定点,所以我们的目标是求出直线

的方程——两种思路:一是直接设出

方程利用关系找

与

的关系,二是利用

两点的坐标求出

的方程。

思路一:设

的方程为

,与椭圆联立

,设

,利用韦达定理可得

,从而得到:

,

根据

,即

,整理得:

代入上式,从而能够得到找

与

的关系,进而得到直线的过定点;

思路二:设

的方程为

,联立椭圆方程

,根据韦达定理可得到

,从而求出点

的坐标;同理求出点

的坐标,求出

,写出直线

的方程,最后得定点。(此方法运算量大,处理起来很难)

在解题时，我们可以根据这些定点坐标公式来检验我们计算的结果是否正确。

(2020·山东·22)已知椭圆C:

的离心率为

,且过点A(2,1).

(1)求C的方程:

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

【答案】见解析

【解析】(1)由题意可得:

,解得:

,

故椭圆方程为:

.

(2)设点

.

因为AM⊥AN,∴

,即

,①

当直线MN的斜率存在时,设方程为

,如图1.

代入椭圆方程消去

并整理得:

,

②,

根据

,代入①整理可得:

将②代入,

,

整理化简得

,

∵

不在直线

上,∴

,

∴

,于是MN的方程为

,

所以直线过定点

.

当直线MN的斜率不存在时,可得

,如图2.

代入

得

,

结合

,解得

,,

此时直线MN过点

,

由于AE为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边,

所以AE中点Q满足

为定值(AE长度的一半

).

由于

,故由中点坐标公式可得

.

故存在点

,使得|DQ|为定值.

1.过

上一点

,作两条射线

交抛物线于

两点,且

,证明:直线

恒过一定点并求出该定点坐标。

2.（2014年辽宁理科20）圆

的切线与

轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为

（如图），双曲线

过点

且离心率为

.

（1）求

的方程；

（2）椭圆

过点

且与

有相同的焦点，直线

过

的右焦点且与

交于

两点，若以线段

为直径的圆过点

，求

的方程.