邹生书——立体几何中存在性问题的向量解法

立体几何中存在性问题的向量解法

湖北省阳新县高级中学       邹生书

立体几何中的存在性问题常见的有平行、垂直、距离和夹角这些常考不衰的重点内容,命题设置常以解答题的形式出现.近几年在高考中还出现了一些设置新颖的存在性探索性问题,这些问题多以客出题的形式出现,成为高考数学命题的一个新亮点.存在性问题特别是存在性探索题,具有新颖性、开放性、探索性和创造性等特点,有利于考查学生的探索能力、创新意识和综合素质,深受命题者的青睐.由于此类问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高,大多考生都不敢问津.若用向量方法处理,尤其是通过建立空间直角坐标系利用待定系数法求解存在性问题则思路简洁明了,解法程序化操作方便.下面我们通过典型例题解读向量法求解立体几何存在性问题的类型和方法.

一、几种常见的存在性问题

1.平行垂直有关的存在性问题

平行与垂直是立体几何的两种重要的位置关系,其中线线的平行与垂直是基础,线面平行和垂直是重点考查内容,应引起高度关注.

例1（武汉市2012届高中毕业生二月调研测试理科数学第19题）

例2（2020年12月28日开考的“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评数学试题的第20题）

解：(1)取B₁C₁的中点O，连接OA₁,OE.依题意知OA₁,OE, B₁C₁两两垂直。

以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示。

夹角问题主要有线线角、线面角和面面角,其中线线角是基础,线面角和面面角是高考重点考查内容.

例3（2012年湖北省八市高三三月联考理科第18题）

一个四棱锥的三视图如图2所示.

（Ⅰ）求证PA⊥BD;

(Ⅱ)在线段PD上是否存在一点Q,

使二面角Q-AC-D的平面

点拨：线线角、线面角和面面角是立体几何中与角有关的主要问题,利用向量法解决此类问题可以避开抽象、复杂的寻找角的过程,只要能够准确理解和熟练应用下列公式就可以使此类问题巧妙获解.

3.与距离有关的存在性问题

空间中的距离问题主要有点点距离、点线距离、点面距离、线面距离和面面距离等,其中点面距离是高考重点考查内容.

二、几道别致的存在性高考创新题

例5（2010高考全国卷Ⅱ理科第11题）

与正方体的三条棱所在直线

的距离相等的点(   )

A．有且只有1个              B.有且只有2个

C．有且只有3个              D.有无数个

点拨 这是一道与三线等距的点的存在性创新探索题,本解法从特殊入手,通过直觉思维和合情推理,归纳猜想直线DB₁上的任意一点到三条棱所在直线的距离相等,然后通过坐标法进行演绎推理验证猜想.

例6（2010年高考江西卷理科第10题）

点拨 这是一道与三线等角的直线的存在性创新考题,本解法通过建系设点,利用两直线的夹角与两直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值相等建立等量关系,把直线的条数问题转化为直线的不共线方向向量的种数问题而使问题得以解决.

例7（2008年辽宁理科第11题）

点拨 这是一道与三线都相交的直线的存在性创新考题,本题若用几何构造法则费时费力很难凑效,本解法采用坐标法巧妙设点,然后根据三点共线的向量关系列方程,将直线存在性问题转化为判断方程组的解的个数问题,从而使问题得以解决.