高数求极限方法总结
第一章极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：数列极限、函数极限，说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；等。定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且（1）（2）（3）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）（2）；说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。（2）一定注意两个重要极限成立的条件。例如：，，；等等。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于。5．连续性定理5一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。求极限的一个方法。6．极限存在准则定理6（准则1）单调有界数列必有极限。定理7（准则2）已知为三个数列，且满足：1
（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。二、求极限方法举例1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例2解：原式=。例3解：原式。2．利用函数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。3．利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则(第三章)例62
解：原式=。例7解：原式=。4．利用定理2求极限例8解：原式=0（定理2的结果）。5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9解：～，～，原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是错误的：原式=。正如下面例题解法错误一样：。例11解：，所以，原式=。（最后一步用到定理2）5．利用极限存在准则求极限例20已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，3
设。对已知的递推公式两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以。例21解：易见：因为，所以由准则2得：。上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另
