微专题：探索三角形内切圆和外接圆的半径

最近我们学习了圆的相关内容，其中圆与三角形有两种特殊的位置关系，从而导致圆的半径与三角形三边有着密切的联系。让我们来共同探三角形外接圆与内切圆的半径与三角形三边的关系！

探索三角形内切圆、外接圆半径

01

三角形

内切圆与外接圆的定义

（1）三角形内切圆

三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

（2）三角形外接圆

三角形的外接圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

02

海伦公式

三角形面积公式

我们在计算三角形的内切圆半径时，采用等面积思想。对于特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形、等边三角形的面积比较容易求出，而对于普通任意三角形的面积如何求解呢？海伦给出了巧妙的回答。接下来由园外初三（1）日新班巢同学给大家来介绍海伦公式及推导过程！

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。

海伦公式S表达式为：（p为周长半径）

证明如下：如图，已知BC=a,AC=b,AB=c,过点A作ADBC交BC于点D。根据勾股定理求出高h 即可。

03

三角形

内切圆与外接圆半径

一、等边三角形的内切圆、外接圆半径

由于等边三角形“三线合一”，因此，等边三角形的外心和内心重合。设内切圆半径为r，外接圆半径为R。

二、直角三角形的内切圆、外接圆的半径

（1）直角三角形外接圆半径

如图，直角三角形圆的外接圆圆心在斜边的中点，因此外接圆半径R=1/2r

（2）直角三角形内切圆半径

易知四边形CEDG为正方形，设直角三角形内切圆半径为r，则CE=CG=r,由切线长定理得AF=AE=b－r,BF=BG=a－r,则b－r+a－r=c,则内切圆半径：

三、一般三角形的内切圆、外接圆半径

（1）三角形内切圆半径

已知∆ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，内切圆半径为r。

（2）三角形外接圆半径

已知∆ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，外接圆半径为R。已知一边和它的对角，那么用已知边和角来表示它的外接圆的半径R的公式是：

四、三角形内切圆、外接圆半径的关系

已知∆ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，内切圆半径r，外接圆半径为R。