三角形解题训练与拓展

【问题原型】

△ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=∠ABC=α，点D为BC边上任意一点，点E在AD延长线上，且BC＝BE；

（1）当α=30°时，点D恰好为BC中点时，补全图1，求∠BEA的度数；

（2）如图2，若∠BAE=2α，此时恰好DB=DE，连接CE，求证：△ABE≌△CEB．

图1

图2

【参考答案】

@周日 同学提供

@张志彬 同学提供

【拓展方法一】过点B分别作AC与AE的垂线，根据角平分线的性质得到两个垂线段BF与BG是相等的。

然后的话证明Rt△BFC与Rt△BGE全等，进而得到角度相等，就可以就容易得到∠BCE与∠BEC都是2α，再证明结论即可。

【拓展方法二】如下图构造垂线亦可。也是证明∠CBE=∠DEB=α，最终容易得到结论。

【拓展方法三】过点C作CF使得∠ACF=∠ACB=α，交延长BA的延长线于点F，并连接DF，易得△ADB≌△AFC（ASA），

那么即可得到AD=AF，

易得∠BAC=2α+∠DAC=∠DAF，

则∠ABC=∠ACB=∠ADF=∠AFD=α，易得AD=CD，

再证明结论即可。

来源：中考数学压轴题