折叠，让不完美走向完美
折叠，让不完美走向完美
――运用轴对称的美感做辅助线
文/郭梅
今天，我上了一节活动课-----《运用轴对称的美感做辅助线》。以前在做这一类的题时，都是直接告诉学生怎么添加辅助线，但是现在我明白了不但要授人以鱼，更要授人以渔，要让孩子知道做辅助线的依据，明白作图方法的来源，这样，他就不是在“背题”和“背思路”，而是真正学会思考了；让他亲自动手参与，将不熟悉的情境转化成熟悉的情境，他就增强了探索的意识。
于是我设计了如下三个活动。
活动一 探究“等腰三角形中的相等线段”
等腰三角形是轴对称图形，它有着均匀的美感，我们运用轴对称图形的特征，站在轴对称变换的角度上研究出了等腰三角形的性质：
1、等边对等角。
2、等腰三角形三线合一。
那么等腰三角形中还有哪些相等的线段？
已知AD是等腰三角形顶角的平分线，除了两腰相等，BD =CD外，还能做出哪些相等的线段？
剪一个等腰三角形，沿底边上的高所在的直线对折后，画出一些线段，会发现什么？
还能画出哪些相等的线段？
1、过点D向两腰引垂线段，两条垂线段相等。在AD上找一点，向两腰引垂线段，两条垂线段相等；在线段AD上任找一点，向两腰引垂线段，对应的线段也相等。
2、连接点D和两腰的中点，两腰的三等分点，n等分点，这些对应的线段都相等，也就是说，只要AE=AF，DE就会等于DF。
3、连接AD上任一点和点B点C的线段，对应的线段相等。
.4、找到BD和CD的中点E和F，连接AE，AF，则AE=AF；其实只要BE=CF,则有AE=AF。
这些对应线段相等，都和轴对称相关，因为通过折叠它们都可以完全重合。因为对称，也给人以美的感觉。
这些题目中的相等的线段，表面上是通过全等或者角平分线的性质获得，实际上根源是因为它们关于AD所在的直线对称。
在等腰三角形中，等边对等角。那么，运用轴对称的性质，我们能解决边角不等的问题吗？
活动二 证明“大边对大角”
我们发现一种现象：三边不相等的三角形中，较长的边所对的角也较大，简称“大边对大角”，如何证明呢？
已知：在三角形ABC中，AB>AC。
求证：∠C＞∠B
分析：这个三角形不是轴对称图形，但是我们能不能站在轴对称的角度上解决这个边角不相等的问题呢？虽然这个图形不是轴对称图形，但是AC可以翻折到AB上吗？动手试试，看看能发现什么？
通过折叠，我们发现了折痕，ＡＥ就是∠ＢＡＣ的角平分线，在ＡＢ上截取ＡＤ＝ＡＣ，三角形ＡＣＥ也可以转移到三角形ＡＤＥ上，∠Ｃ＝∠ＡＤＥ＞∠Ｂ
在证明的过程中，我们发现可以把不规则的图形“改造”成轴对称的图形，解决问题。
那么是不是还可以这么做辅助线呢？
可以延长ＡＣ到点Ｆ，使ＡＦ＝ＡＢ．这时，整个图形也可以变成轴对称图形。同样的道理，可以证得大边对大角。
活动三 应用知识解决问题
1、在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＤ是角平分线，ＤＦ垂直于ＡＢ，ＤＧ＝ＤＥ，Ｓ△ＡＤＥ＝５０，Ｓ△ＤＡＧ＝３９，求Ｓ△ＤＦＧ。
分析：ＡＤ是角平分线，根据以往的经验，ＡＣ是可以翻折到ＡＢ上的，△ＡＤＥ和△ＤＡＧ分列于角平分线两侧，怎么把它们转移到一起呢？
可以在ＡＢ上截取ＡＨ＝ＡＥ。可以证得△ＡＤＥ全等于△ＡＤＨ，那么△ＤＧＨ的面积就为５０－３９＝１１，进而可以证明△ＤＧＦ和△ＤＨＦ面积相等，可以知道Ｓ△ＤＦＨ＝５.５
△ＡＤＨ和△ＡＤＥ是关于ＡＤ对称的，四边形ＡＨＤＥ本身也是也是一个轴对称图形。
2、已知：AD平分∠BAC，CD=CB，AB>AD,求证：∠B+∠ADC=180°
分析：这道题直接无法证明，∠B和∠ADC又分列在AC两边，怎么把它们转移到同一侧呢？如果进行加工，改造出一个轴对称图形可以吗？
共有如下几种做辅助线思路：
1、过点C向AB AD引垂线段。
2、在AD上截取AE=AB。这种方法是把一条较短的线段补得和长线段一样长，简称“补短”
3、在AB上截取ＡＧ＝ＡＤ。这种方法是在较长的线段上截取一段等于较短的线段，简称“截长”。
“作垂线段”，“截长”“补短”这三种作辅助线的方法，归根结底都是通过构造出轴对称的图形来解决问题的。
在第一个探究活动中，我们明白了轴对称的意义，通过折叠和证明，发现了等腰三角形中的相等的线段，对称可以造成全等，带来相等的线段相等的角。通过第二个探究活动，我知道了如何把不对称的图形转化成对称的图形，即通过折叠，让两个角转移到一起，具有一定的关系。到第三个活动，情况更明朗了，在出现角平分线，问题又不能直接解决的时候，就可以根据实际情况做辅助线，使不对称的问题朝对称的方向发展。
人常说，不如意事八九，如意事一二。生活中尽是不完美，怎么把不完美的事情改造成完美，是需要有智慧的。如何开动脑筋，把不在一起的转化到一起；把不对称的转化成对称，是我们要思索的。
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郭梅
河南省沁阳市外国语中学数学教师。
焦作市骨干教师
河南省书法家协会会员
境自远尘皆入咏 物含妙理总堪寻