【2021中考真题21】河南15题——连续折叠题的多种解法
河南卷
2021中考数学
2021河南15
小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1. 第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3. 当点D'恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为 .
解法分析
轴对称可以产生全等形，进而产生许多等线段和等角，同时还有角平分线和垂直平分线的产生，还原折叠痕迹(如左图)，发现并利用好这些新条件或新元素是解决问题的关键.
分类讨论1：当点D'落在AB上时，如中图：
根据轴对称的性质得：A'C=AC=1，∠D'A'C=∠A=60°， A'C垂直平分DD'，记A'C和DD'的交点为E，
∴CE=AC·sin60°=，
∴A'E=1-，
∴A'D'=2A'E=2-.
分类讨论2：当点D'落在BC上时，如右图：
根据轴对称的性质得：∠1=∠2=∠3=30°， A'D'=AD， 易得△ADC为直角三角形，
∴AD=AC=，
∴A'D'=AD=，
∴线段A'D'的长为(2-)或.
情况1的其他解法
方法1：
设CA´与AB的垂足为点E，在Rt△ACE中，∠A=60°，AC=1，利用三角函数求出CE=
，所以AE=1-
，在Rt△A´DE中，∠A´=60°，所以A´D=2AE=2-
.
方法2：
由思路一可得AE=1-
，在Rt△ACE中，∠A=60°，AE=
，设AD=A´D=x，DE=
-x，在Rt△A´DE中，由勾股定理可得关于x的方程，可以求解。
方法3：
由折叠的性质可得CD平分∠ACE，利用角平分线分线段成比例定理可得
，又ED+AD=AE=
，进而可求AD的长.
方法4：
我们可以得到∠ACD=15°，可以如下图借助30°特殊角构造15°的直角三角形，进而求出15°的正切值，在△ADC中，已知两角∠A和∠ACD，以及一边AC，该三角形可解。
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连续折叠两次挺虐的,
再连续折叠几次,
竟然变好玩了.
END
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