如何巧算期权价格和希腊字母：认识正态分布
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2. 正态概率分布
高斯分布（Gaussian distribution）, 也称为正态分布(normal distribution), 其概率密度图像是一条中间高、两端逐渐下降且完全对称的"钟形"曲线. 该分布能够反映观测值处于某特定区间的概率. 图2.1给出标准正态分布密度曲线及不同标准差区间内的概率（以平均值为中心）. 考虑一组人的身高, 假设95%的身高位于110cm和190cm之间, 这意味着平均身高为150cm(（110+190）/2). 由图2.1可以看出, 95%的观测值在平均值(图中平均值为0)两侧的2个标准差之内, 即4个标准差的跨度. 相应地, 80cm(190与110的差值)代表了4个标准差的跨度, 由此可知, 身高的标准差为20cm.
图2.1 标准正态密度曲线
那么，给定身高的平均值为150cm和标准差为20cm, 我们可以说，一个人的身高有68%的可能性介于130cm和170cm之间, 有95%的可能性介于110cm和190cm之间, 几乎可以断定绝大数人的身高(99.7%的可能性)介于90cm和210cm之间. 或者说, 几乎不可能有人高于210cm或低于90cm.
2.1 金融市场中的标准差
在金融市场中, 标准差可用于刻画期货价格的日收益率变化程度(严格说应该是日变化率, 因为期货是杠杆交易; 可由当日收盘价与前一日收盘价来计算日收益率). 价格只要有变动就有标准差（无变动，则标准差为零, 这种特例无需研究）. 例如, 某期货价格为$50且日度标准差为1%, 我们可以说在全年256个交易日中(365天减去周末和假日等非交易日), 有174个交易日(68%), 价格变动的范围不超过$0.5; 有69个交易日的交易日(27%，即95%-68%),价格变动在$0.5和$1之间; 余下13个交易日, 价格变化将超过$1.
金融市场中常用的标准差定义为
(或简写为σ
), 其中σ表示波动率,通常以年为周期计算,即年化波动率(在不混淆的情况下,可简称为波动率）;
表示到期期限的平方根. 与波动率的计算周期一致, 到期期限T 也以年为单位计算. 在不同金融产品中, 到期期限具体所指不同, 可指距离期货合约交割日的时间, 也可指距离期权到期日的时间. 此外, 若某期货交易价格为$50时, 则相当于确定平均值为$50.
2.2 波动率和到期期限对标准差的影响
波动率是用于刻画一段时间内的金融资产价格变动（离散）程度的一种量化指标. 具有高波动率的资产价格通常具有较强的趋势性变化或日内大波动; 人们可以想象汇率市场动荡时刻的情景, 再比如地缘政治问题出现后, 市场震荡加剧, 投资者似乎有点惊慌失措. 当波动率很低时, 可以想象极其无聊的夏季交易淡季, 有时候市场几乎几天不动, 成交量非常低, 人们在暑假期间也懒得投资.
图2.2 期货价格的概率分布
（当前价格为$50，显示了2个波动率和3个到期期限的多种组合情景）
我们知道，到期期限需按年计算, 若到期期限为3个月, 即T=1/4, 其平方根
=1/2. 那么, 当期货价格(F)为$50.00、波动率(σ)为20%、到期时间(T)为3个月时, 则标准差为=20%×1/2 ×50.00=5.00. 这意味着应用2倍标准差(2σ) 原则时, 期货价格在未来3个月内有95%的可能性在$40.00和$60.00之间波动(95%也称为置信水平).
由标准差公式, 很显然, 若波动率扩大和(或)到期时间变长时, 价格波动区间将变宽(本质上是标准差变大); 而若波动率缩小和(或)到期时间变短时, 价格波动区间将收窄(即标准差变小所致).
在图2.2中, 虚线代表波动率为10%、到期期限为1年的期货价格概率分布. 当前期货价格(F)仍设为$50.00, 则标准差为σ×
×F=10%×1×50.00=$5.00. 应用3σ原则, 可得到99.7%置信水平对应的价格区间为[35, 65], 也就是F±3σ分别对应区间的上限和下限.
下面举例说明波动率和到期时间变化对标准差的影响. 若波动率为20%、到期期限为3个月, 那么, 与上例相比，由于T以平方根形式进入标准差公式, 将令标准差减半，但同时波动率由10% 增加到20%, 又令标准差倍增, 所以, 两者综合影响使得标准差保持不变, 其概率分布与上例完全相同, 亦可由图2.2中的虚线表示.
重要的是要认识到,尽管不同波动率和到期期限对应的正态分布曲线形状不同, 但曲线下的面积保持不变，始终等于1, 即总概率必须为100%. 在波动率不变的情况下, 若到期期限变短, 那么正态分布曲线尖峰更高, 变得更“瘦高”, 这样能保持曲线下面积始终为1. 在到期期限不变的情况下, 若波动率提高，则意味着曲线变得更“扁平”, 即只有让尖峰高度降低来补偿两侧使得面积保持不变.
总之, 标准差与波动率呈线性关系, 而与到期时间呈平方根函数关系. 这一特征在讨论希腊字母时将反复提及. 我们只需要记住正态分布图如何随着波动率和到期时间变动即可, 有助于理解期权理论的其他特征.