憧憬着“更容易学”的数学
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长沙市教育数学研究小组：高雪松（执笔） 黄娇 刘双 欧阳铬铮
摘 要
上世纪八十年代末，张景中院士提出了教育数学的概念，即从数学的角度对数学教学内容进行数学上的再创造，使之更好教和更好学，而且教学效果更好。张院士在为华南师范大学附属中学进行的讲座中，又提出了“把数学变容易”的宏伟蓝图。这种更容易的数学就是教育数学新体系。本文作者介绍了在研修教育数学中的一些真实体验，并通过几道典型问题的分析，进一步诠释了教育数学的魅力，从而憧憬着“更容易学”的教育数学。
张景中院士在为华南师范大学附属中学进行的讲座中，提出了“把数学变容易”[1]的宏伟蓝图. 在数学的学习上，多少人倍受困扰。他们虽然花去了很多的时间和精力，但欲速而不达，甚至举步维艰。数学是必须学好的科目，不但技术进步、社会发展需要好的数学基础， 而且个人的发展也离不开数学。因此，我们憧憬着张院士“把数学变容易”的教育理想成为现实。
张院士将这种“更容易学”的数学称为教育数学[2]。他在《新思路数学》[3]丛书中，用面积法引入三角函数，应用小学生学过的三角形面积共边定理，对θ的正弦sinθ进行了重新定义，使得孩子们在七年级，就能通过具象化的探究，摸索到几何与代数的联系，从而用三角函数工具去解决陌生的几何问题。这样做，不但知识起点很基础，同时知识有深度、有至高点，不仅简化了三角函数的教学过程，也更自然地为孩子们建立起沟通几何与代数的桥梁， 让这样相互联系着的知识无论在实际应用还是学术探究中都更具实操性。
《新思路数学》的第六章，通过下图所示的“压缩变换”在单位正方形的基础上定义了单位菱形。
这样，如果我们给单位菱形的面积一个记号，平行四边形的面积公式就出来了！于是我们可以这样引入正弦的定义：有一个角为 A 的单位菱形面积叫作 A 的正弦，记作sin A ，即
有了这个定义，图 1 中平行四边形的面积就可以表示为S平行四边形ABCD =2×3×sinA，而且能十分自然地得出在高中学段才教学的三角形面积公式S▲=½ absinC，（其中a, b为角 A, B的对边），我们在例1中用以上定义给出这个面积公式一个完美的几何解释。
这个“说明”从正弦（单位菱形的面积）的定义角度，解释了三角形面积公式，简明而且深入本质。记得某大学自主招生的面试题中有过“试说明三角形的面积公式为什么等于底乘高除以 2”的题目，标准答案也是先将三角形拼成平行四边形，再将平行四边形割补成矩形，回归到用“单位正方形的面积为1”的原始定义予以说明的。此题作为它的一个“升级变式题”，而且初中低年级学生都可以作答，可见引入正弦的新定义之后数学确实是变得“更容易学”了。
由inA= S单位菱形CD 当然可以和传统的正弦的定义“一拍即合”，文[3]轻快地演绎了这个过程，而且还进一步得出了高中学段才学习的
教育数学的知识结构体系，可谓低起点、大跨度、直达能力发展的至高点，就像攀登高山，从山下起步，选择了一条最直接的途径，快捷领略到“一览众山小”的旖旎风光，美不胜收。当然，不同的人在数学上有着不同的个性需求，就象攀登行者对不同景色的观赏点不同一样。这种知识结构体系，尊重学生的个性需求，使学生可以驻足于某一点作深层次的数学探究或拓展发散。这和攀登途中暂停脚步欣赏身边的美景是同一个道理。
教育数学用单位菱形的面积定义了角θ的正弦sinθ，使得“高大上”的三角函数很自然地进入了初中低年级学生的视野。几何与代数拥有了这座相通的“桥”，许多很难想得到的几何推理论证，就能通过程序化的算法算出来了。数学也确实变容易了。
通览按张院士教育数学体系创作的《新思路数学》，所有的内容确实更容易教、更容易学了，同时从使用结果来看，学生的成绩也更好。
三角函数较早地下放到初中数学教材，为孩子们探究初中几何问题，拓宽了思路，也增加了一个强有力的工具。它的出现，使得许多貌似很有难度的数学问题得以轻松获解。为表征这个特点，本文不避画蛇添足之嫌，用引入正弦给出下面三道例题的解答。
这三道题目具有着相同的“胡不归问题[4]”的结构，问题的解决都是通过构造特殊角的正弦获得的。三角函数在“难题简解”中起到了很好的桥梁和纽带作用。
张院士将数学比作核桃，教育数学的任务就是改良核桃的品种，使核桃营养更丰富，味道更鲜美，而且壳更容易敲开。我们所期待的“更容易”不是降低难度，“更轻松”不是降低质量，而是让孩子们在数学上理解更深入，基础更扎实，能力更出众，思维品质更健全。我们憧憬着教育数学理念下的中学数学，早日成体系地具有这样的品质：智能价值更高，教学过程更简，学习效果更好。到那时，我们作为数学教师，也无需那么辛苦了。我们的学生在数学的学习方面也能更轻松愉快。孩子们学好了数学，中国早日迈进数学强国之列，西方卡脖子将成为不可能事件，我们共同憧憬着、期待着。
参考文献：