灵感来自几何，简洁的表达靠代数，精确的计算靠分析
数学分析主要始于对无穷、数学序列的研究，而由于力学对运动物体的研究的需求，又极大地促进了微积分的发展。但与无穷序列有关的想法极为古老，例如阿基米德时期产生了无穷序列的直观想法、找出极限情况等分析萌芽。
几何灵感
抛物线弓形区域的面积是阿基米德最优美的成果之一。所谓“抛物线弓形区域”，就是在抛物线上任取不同的两点，然后连接作为弦，那么该弦与抛物线将围成的便一个弓形区域。关于该该弓形区域的面积计算，阿基米德是这样考虑的：
首先，过弦的中点，作一条与抛物线对称轴平行的直线，该直线与抛物线的交点和弦的两个端点确定一个三角形。如果该三角形的面积为S，明显地三角形内接于抛物线，弓形面积一定大于S。
其次，因为有两个小弓形未被三角形覆盖，阿基米德用同样的方法，在小弓形中分别加了两个小三角形，而且巧妙地证明，两个小三角形的面积之和必定为
。
此时，将会产生四个更小的弓形，继续上面的过程，阿基米德又加了4个小三角形，其面积和为
。另外，阿基米德清楚地证明：不断地添加越来越小的三角形时，每次新添加的小三角形的总面积都是前面的总面积的
。
精确计算
在19世纪之前，曲线之下的面积一直被认为是个确定的值。而阿基米德计算出了抛物线开口朝下时，所确定的数值，即抛物线弓形面积。但绝非任意曲线下都有一个明确的面积，在卡尔·弗里德里希·高斯的时代之前，数学家只研究了其下具有明确面积的曲线。或许是因为其太过直观，数学家在使用无穷序列计算面积时，很少有怀疑。
就像阿基米德，计算抛物线弓形面积，其几何的直觉足以让人相信
定义了一个确定的数值。而对这一数值的计算，可采用如下的方法：因为
所以
两个等式相减，可得3x=4，于是
。
阿基米德得到
但对于建立在无穷序列思想上的任何结果，他总是小心翼翼。所以，阿基米德用穷举法论证了答案的可靠性。尽管阿基米德的证明没有依赖无穷序列，但把一个图形切割成越来越小的图形的思想，是千真万确的，这在阿基米德的著作《方法论》中有详细的解释。
杠杆原理
关于抛物线弓形面积计算，阿基米德还给出了另外的一种方法，阿基米德说过“给我一个支点，我能撬起整个地球”，你能想到，阿基米德用“杠杆原理”计算了抛物线弓形面积吗？请参考专栏《大师启示录》。