一道群题的深入分析
(本文发布于几何数学公众号)
今天在群里看到一位老师问了下面这题的第三问,虽然提问方式比较简单直白,我个人的话是建议大家在提问时先说自己的想法所谓“抛砖引玉”,同时也省去其他老师研究前两问的时间。不过有时候尤其这种几何题,前后联系比较紧密(相较于二次函数压轴题)。往往前问当中就蕴藏着解决问题的关键钥匙(关键不等于唯一)。
这题总感觉做过,但是又记不清楚了,那只能从新想想,并且顺便把我个人的思维过程详细的写出来仅供大家参考!
先从第一问分析,单独看第一问多数情况下还真看不出什么猫腻,因为第一问往往过于简单,本题也是一样,那么我们可以结合三张图,来看第一问,这样就更容易发现一些蛛丝马迹。看三张图的不同与相同,A、B、C相同自不必说,D、E、F的不同也很明显。G其实就是一个关键,G在2、3图中是AF的中点。在第一图中其实也存在,只不过换了一个名字:O!
那么中点看一下G,第一问中G(O)在AB的中垂线(此时为CD)上,第二问呢?G 是不是也在中垂线上?
通过共圆或者是构造手拉手都可以得到∠ABF=90°,也就是F的轨迹为垂直AB直线,借助瓜豆原理易得G的轨迹为直线。且 过AB中点与AB垂直(即为中垂线)。因为G为AF中点,F的轨迹不变,G的轨迹绝不会变。
2、圆的进阶模型
在第三问中D的位置变化了,但是F的轨迹依然不变,所以G的轨迹依然为AB中垂线。如果规避瓜豆的话,用中位线解释也是很简单了。
这样我就找到了这道题的一个核心结论,即G在AB中垂线运动
另外二问中的问题也是一个提示,在找线段关系的时候,就需要构造手拉手相似!进而将BF转化到EJ,EJ+CE=√2 AD
接下来看第三问,多了一个垂直,想想垂直的处理策略:
前面得到了G在中垂线上,这又来了一个垂直,这么多垂直难道是暗示我?进行经典的三垂直构造(相似),CH,HD,DI,EI皆可以用相同的字母表示,进而解方程即可。
BF不仅和GH有关系,也和EJ、CE有关系,
我的草稿:
以下是群友的精彩解答: