一个看似简单的问题：0.999无限循环是否等于1？

数学

笔者认为“数学”是人类所有学科中最有“魅力”的一科，因为数学具备形式上的美感，同时在某种程度上来说，数学超越了其他科学，数学定律是不容置疑且百分百确定的，而其他科学定律在某种程度上来说都存在可以证伪的空间，因为各种新发现的现象可能会颠覆已知的理论，只有数学具有确定性。

在人类的历史发展中，数学在方方面面发挥着不可替代的作用，同时数学也是其他科学的基础工具，想要研究现代科学，必须先学习数学知识，纵观人类历史，在中国古代和古希腊时代，都对数学有了一定的研究。

但是在古希腊时代，学者对数学的重视程度更高，因为古希腊的社会结构特殊，学者可以专心求学，不需要为了工作和生存发愁，在这样的时代背景下，古希腊的学者对天文，宇宙，数学等领域有了较为深入的研究。

芝诺悖论

古希腊一位叫做芝诺的数学家，提出了一个著名的悖论——“芝诺悖论”，这个悖论被记载于亚里士多德的著作《物理学》中。

古希腊神话中一位叫做阿喀琉斯的神明，他十分擅长跑步，但是在一场和乌龟的比赛中，他却永远追不上这个乌龟，假设乌龟每秒可以爬行一米，阿喀琉斯的速度是乌龟的十倍，乌龟在阿喀琉斯前往100米的位置，双方同时开始奔跑，十秒后阿喀琉斯跑出了100米，乌龟跑出了10米，十一秒后双方之间的距离差距缩短到了一米，每当阿喀琉斯追上了乌龟的上一个位置，乌龟总是会向前前进一点点，只要时间可以无限分割下去，那么阿喀琉斯永远也追不上乌龟。

芝诺悖论的本质是讨论运动的不可分性问题，在当时对于“无限性”的理解存在一定的矛盾，时空的本质是否可以无限分割让学者疑惑。

目前，在量子力学中对于这个问题已经有了答案，那就是时间和空间的最小单位“普朗克单位”，普朗克时间和普朗克长度是宇宙中最小的单位，因此时间和空间都是不能无限分割的，这就很好的解释了“芝诺悖论”。

芝诺提出这个悖论的本意是为了嘲讽当时“毕达哥拉斯学派”的数学思想，在当时出现了这样一个矛盾，1-0.999无限循环＞0，而芝诺认为1-0.999无限循环=0，当时的人类都把这个论题当作玩笑，后来却引发了第二次数学危机，直到微积分的诞生数学家才开始重视这个问题。

第二次数学危机

在人类的历史上发生过三次数学危机，第一次和第二次都和毕达哥拉斯学派有关，毕达哥拉斯学派认为：

“一切数均可表示成整数或整数之比”

毕达哥拉斯学派的数学信仰在无理数被发现后崩塌，而第二次数危机的开端就是芝诺悖论的相关讨论，在古希腊的数学中，“无穷小”这个概念被排除在外，因为当时的学者无法解决无穷小产生的矛盾。

我们来思考一下，0.999的无限循环是否等于1呢？在数学上，0.999无限循环并不能等于1，但是在实际生活中0.999的无限循环和1没有任何差别，比如1/3=0.333无限循环，1=(1/3)×3=0.333无限循环×3=0.999无限循环。

在微积分建立会推广的初期阶段，这个问题引起了数学家的广泛讨论，引发了“第二次数学危机”，随着微积分的定义和实数的理论体系完善，最终被科学家完美解决，在微积分中，1和0.999无限循环中间这个数被称为“无穷小量”，第二次数学危机的关键就是讨论“无穷小量”的存在是否合理，如果合理“无穷小量”是否应该等于0。

柯西给出了“极限”的概念，他指出不论是无穷小量还是无穷大量，都不是一个确切的数值，而是一个变量，无穷小量的极限是0，并且0是无穷小量唯一的一个常量，最终在实数理论的基础上完善了定义，解决了第二次数学危机。

在第二次数学危机中，微积分被大范围推广，在多个领域解决了曾经无法解决的难题。

当然，直到今天这个问题也没有被百分百解决，数学家欧拉就认为，无穷小量应该等于0。比如在计算地球这样庞大的数据时，忽略一些灰尘的存在完全可以解释，并不会对整体造成什么影响。

而第三次数学危机和罗素悖论有关，直到今天也没有完美解决，第二次数学危机和第三次数学危机都证明了一件事，人类的数学理论还有很大的进步空间。

如果抛开数学的严谨性，在日常生活中，0.999无限循环和1没有任何差别，因为宇宙中的粒子都在不断运动，任何一个整体每时每刻都在发生变化，没有百分百确定1存在。