学生的智慧——另类的裂项求和

开学初,因为需要搬办公室,意外地发现之前做的教学反思笔记,打开看到之前写的一篇文章,现在分享给大家。

这是发生在2015年初带的高一九班学生(2014年入学)的案例。

教学背景:

在上节课教学中讲到了裂项求和,并出示一道例题,和同学们一块解决:

随后布置了一道练习题:

由于没有多长时间就下课了,索性就留成课后作业。

第二天,我找学生上讲台板书过程:

一位学生写到:

看到这儿,我不禁笑了,但是我并没有打断孩子的解题。接着看,

可是,看完学生完整的解答过程,我惊呆了,这确实是裂项求和的思想啊!这样也可以?还是只是偶然,我紧接着又出两道:

不一会儿,学生给出了答案:

看完学生的答案,我几乎要疯狂,兴奋地疯狂,我的学生们太厉害了,这是一种通法,于是果断放弃原计划的教学,开始尝试引导孩子们发现这类问题的规律。我注意到,给出的练习题都是以“1”开始的,于是,我接着给出一道习题:

面对这样一道题,学生变得五花八门,而且无法做到前后相消,于是,我引导学生观察以上几个式子裂项后分子与分母各自的特点,包括与通项公式的区别联系,学生很快总结出分母正好是两个因数,去掉相同项是一个等差数列;而分子去掉相同项仍是一个等差数列,且公差比分母项的公差少1。

接着学生给出解决方案:

我心里清楚这是一种数列求和的方法,而且也是裂项相消的思想。可是这不是常规的“裂项求和”,这不是我要告诉给孩子们的裂项求和,但是望着还沉浸在解题成功的喜悦里的孩子们,真的不忍心打击孩子们学习探索的兴趣。

首先,我肯定学生:你们是厉害的,也是最优秀的。这种解题的方法是正确的,也是裂项相消。但是,我带过的几届学生没有发现这种解题方法,当然,之前我也不知道,我们年级的数学教师都不知道,甚至是全校的教师也不清楚。

为什么?因为老师们更习惯于用另一种分裂方式:

显然,这种方法更简单,也正是因为简单,所以忽略了对其他方法的探讨,当然,你们那种方法是正确的,那么在考试中,这样的写法是否能拿满分?

刚才我说了,并不是所有的人会像我这么幸运能够从你们这儿学到这种新的“裂项”方法。如果你们要选择第一种方法,首先需要较长的时间找出裂项,有的时候裂项复杂到让你自己也怀疑,譬如变式4;其次,如果恰好遇见阅卷教师没有认真仔细分析你这个过程,就像我最开始认为你们只是巧合一样,可能不会给你满分!

所以,无论从思维简单程度,还是从得分率上,我都建议大家用第二种方法。当然你们这种方法是正确的,也叫做“裂项求和”,只是新颖的方法让所有人认可是需要时间的。

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