等腰直角三角形的角平分线

【题文】

已知等腰△ABC，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，

求证：AC＋CD＝AB．

【解析】

证法一：过点D作DE⊥AB，易得CD＝ED，AC＝AE，

△DBE为等腰直角三角形，ED＝EB，

所以，AB＝AE＋EB＝AE＋DE＝AC＋CE

证法二：延长AC至点E，使CE＝CD，并连接DE，易得AB＝AC，所以AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CE

证法三：延长BC至点E，使CE＝BC，连接AE，

则AE＝AB（垂直平分线的性质），

易得∠EAD＝∠EDA＝22.5°＋45°＝67.5°，

则AB＝AE＝ED，

所以AB＝ED＝EC＋CD＝BC＋CD＝AC＋CD

 证法四：过点C作CG⊥AB，垂足为点F，交AD于点E，使得CF＝GF，并连接AG，

易得AF＝GF＝BF＝CF，AB＝CG，AG＝BC＝AC，

又得∠CED＝∠CDE＝∠AEG＝∠EAG＝67.5°，

所以CE＝CD，AG＝EG，

所以AB＝CG＝EG＋CE＝AC＋CD

证法五：延长AC至点E使得CE＝CD，并连接BE，

易得△ACD≌△BCE，∠E＝∠ADC＝∠ABE＝67.5°，

则AE＝AB，

所以AB＝AC＋CE＝AC＋CD

证法六：易得S△ACD：S△ADB＝CD：DB＝AC：AB，

设AC＝CB＝1，则AB＝

，CD＝x，BD＝1－x

代入比例式x：（1－x）＝1：

，

∴x＝

－1，

所以AC＋CD＝1＋

－1＝

＝AB