中考数学压轴题分析：破解角平分线难题

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【中考真题】

（2021·哈尔滨）已知是的外接圆，为的直径，点为的中点，连接并延长交于点，连接，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作，交于点，交于点，连接，，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．

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【分析】

（1）根据三角形外角的性质即可得到结论。因为∠CDE不仅等于∠ABD＋∠BAD，还会等于90°＋∠CBE，那么结论就可以转化为求90°＋1/2∠BAC＋1/2∠BAD＝90°＋45°＝135°了。

（2）证明线段平行，考虑证明内错角相等。那么本题能想到的就是证明∠OGD＝∠ADG。

也就是说只需证明∠ADG＝∠OED＝∠OBE＝∠OGD即可。那么由于∠GDE＝∠DNE＝90°，易得结论。（射影定理三垂直模型）

（3）这是本题的压轴之问，有一定难度。求AG的长，通过观察发现四边形ADOG为平行四边形，那么只需求出OD的长度即可。而OD与DN在一个直角三角形中，如果指导ON的长，就可以用勾股定理解决了。

由于BD为角平分线，那么可以得到AB/AD=BC/CD，易得AD=OA=OG，因此可以得到AB为AD的2倍，那么BC也就是CD的2倍了。

设半径为r，那么AB=2r，AC=2（r-DN），BC=2CD=r-2DN，代入DN的值，根据勾股定理可以求出r，那么就指导了BC、ON的长，OD的长自然就知道了。

不过证明四边形ADOG为平行四边形还略有点难度，这边简述一下：

如图，设∠BOG为x，则∠BAG=1/2x，而

∠AOD＝180°﹣∠BOD

＝180°﹣（360°﹣x）÷2

＝1/2x

＝∠BAG。

【答案】（1）证明：如图1，过点作，交于点，连接交于，

，
，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
中，，
；
（2）证明：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点作于，延长交于点，

由（2）知：，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
设，则，，
由（2）知：，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：（舍，，
．