中考数学压轴题分析：周长最大值问题

最短路径问题特别是将军饮马问题在平时遇到比较多。但是周长的最大值，或者说线段和最大值，此类问题出现的频率不高。不过也是会出现。一般的方式就是利用设未知数表示线段长，利用二次函数的性质进行解题。

【中考题目】

（2020·扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．

（1）求证：OC∥AD；

（2）如图2，若DE＝DF，求的值；

（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．

【分析】

本题实质是一个圆的有关问题，因为点O到A、B、C、D的长度都是相等的。

题（1）证明两直线平行，利用角的平分线与等腰三角形，可以得到结论。

题（2）观察图2可以发现△ABD是等腰直角三角形。可以往这个方向去思考。如下图，根据DE=DF，可以得∠DEF=∠DFE，那么可以得到两个绿色的三角形两对角相等，可以得到∠AOD=∠ACB=90°，就可以得到等腰直角三角形了。

那么利用下面的两个三角形相似，可以得到AF与AE的比值，就是AO与AD的比值即可。

题（3）求四边形的周长的最小值，就是求AD与BC、CD的和最小，也就是求AD+2CD的最小值，可以考虑设其中一个为x，例如CD=x，则BC也为x，再利用垂径定理与勾股定理，表示出BG、CG、OG等的长度，发现AD其实为OG的2倍。然后用配方法或者二次函数的顶点坐标可以求出结论。

【答案】（1）证明：∵AO＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∵OC平分∠BOD，

∴∠DOC＝∠COB，

又∵∠DOC+∠COB∠＝∠OAD+∠ADO，

∴∠ADO＝∠DOC，

∴CO∥AD；

（2）解：如图1，

∵OA＝OB＝OC，

∴∠ADB＝90°，

∴△AOD和△ABD为等腰直角三角形，

∴ADAO，

∴，

∵DE＝EF，

∴∠DFE＝∠DEF，

∵∠DFE＝∠AFO，

∴∠AFO＝∠AED，

又∠ADE＝∠AOF＝90°，

∴△ADE∽△AOF，

∴．

（3）解：如图2，

∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，

∴△BOC≌△DOC（SAS），

∴BC＝CD，

设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m，

∵OB²﹣OG²＝BC²﹣CG²，

∴4﹣（2﹣m）²＝x²﹣m²，

解得：m，

∴OG＝2，

∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，

∴G为BD的中点，

又∵O为AB的中点，

∴AD＝2OG＝4，

∴四边形ABCD的周长为

2BC+AD+AB

＝+

=

=，

∵<0，

∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10．

∴BC＝2，

∴△BCO为等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∵OC∥AD，

∴∠DAC＝∠COB＝60°，

∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，

∴∠AFD＝90°，

∴，DFDA，

∴．