薄壁箱梁约束扭转二次剪力流的分解计算方法研究
在实际工程结构中，薄壁箱梁的扭转问题几乎都表现为约束扭转，约束扭转分析是薄壁箱梁理论研究的重要内容之一。多年来，许多学者针对薄壁箱梁的约束扭转问题，开展了大量研究工作。鲍永方等[1]结合纯闭口截面悬臂箱梁算例，对比分析了乌曼斯基理论、瑞斯勒理论及广义坐标法计算约束扭转翘曲正应力的精度，并对乌曼斯基理论中的翘曲约束系数表达式提出了改进建议。徐勋等[2]基于广义坐标法原理和混合变分原理，建立了薄壁箱梁约束扭转和畸变效应分析的控制微分方程，结合数值算例，分析了截面翘曲几何特性及翘曲正应力随箱梁悬臂板宽度与箱室宽度之比的变化规律。Wang等[3]将薄壁箱梁约束扭转时横截面的总扭转角分解为自由翘曲扭转角和无翘曲变形的约束剪切扭转角两部分，通过约束剪切扭转角表达约束扭矩，建立了控制微分方程并用初参数法求解，结合数值算例，分析了纯闭口截面悬臂箱梁的扭转角和广义内力分布。胡启平等[4]、任扬志等[5]分析了在自由端作用集中扭矩荷载的悬臂箱梁和跨中偏心荷载作用的简支箱梁的扭转角、翘曲位移和翘曲正应力，所分析箱梁的横截面也为无悬臂板的纯闭口截面。周履[6]针对带悬臂板的单室薄壁箱梁，通过扣除截面上因悬臂板的二次剪力流合成的扭矩，建立了按相应的纯闭口截面箱梁进行约束扭转分析的微分方程。张元海等[7]针对带悬臂板的单室矩形箱梁，研究了偏心轴向荷载作用下的约束扭转翘曲正应力随箱室高宽比、翼缘板宽度比等几何参数变化的影响规律，但没有涉及二次剪应力的分析。朱德荣等[8-10]分析了特殊支承箱梁及曲线箱梁的约束扭转性能，结合数值算例，给出了广义内力分布及翘曲正应力计算结果，但没有给出二次剪应力的相关结果。Shin等[11]提出了一个分析变截面箱梁约束扭转性能的变截面箱梁单元，通过计算变截面悬臂箱梁算例的扭转角和翘曲位移并与板壳单元和铁木辛柯梁单元计算结果对比，验证了单元的有效性。杨绿峰等[12]、Kermani等[13]及Kim等[14]也用一维梁段有限元法开展了薄壁箱梁的约束扭转分析，其中Kermani的箱梁单元还考虑了畸变效应。乔朋等[15]用Ansys建立单箱双室及三室波形钢腹板组合箱梁的三维有限元模型，引入单个腹板弯扭剪应力与全部腹板平均剪应力的比例系数，以反映偏心荷载作用下箱梁腹板剪应力的非均匀分布程度，结果表明，腹板剪应力非均匀分布系数可达到4.5以上。马磊等[16]推导了单箱双室波形钢腹板组合箱梁的约束扭转和畸变翘曲微分方程，结合缩尺箱梁模型，分析了宽跨比、高跨比、波形钢腹板的波长及波折角度等参数变化对翘曲正应力的影响，但没有涉及二次剪应力的参数影响分析。杨丙文等[17]根据薄壁箱梁约束扭转分析的乌曼斯基理论，对波形钢腹板单室箱梁在偏载作用下的约束扭转翘曲正应力和剪应力进行了计算分析，然而，计算的箱梁横截面剪应力分布图形表明，在悬臂板的悬臂端部不仅出现了剪应力，而且其值比根部的剪应力更大，这显然不符合实际。在项海帆等[18]和郭金琼等[19]主编的研究生教材中，也给出了类似的在箱梁悬臂板端部有二次剪应力的算例。这说明对于带悬臂板的箱梁，所采用的约束扭转二次剪应力计算方法是不合理的。综上所述，在已有的薄壁箱梁约束扭转分析的相关文献中，更多关注的是约束扭转翘曲正应力和扭转角等，很少涉及二次剪应力计算，而且不少文献中的分析对象为无悬臂板的纯闭口箱梁，这就避开了因悬臂板的存在对箱梁横截面二次剪力流分布的影响问题。事实上，由于主应力受剪应力的影响很敏感，因此，合理计算薄壁箱梁约束扭转二次剪应力也是很重要的，特别是对主拉应力验算。徐栋等[20]针对目前薄壁箱梁上下翼缘板存在斜裂缝的情况，指出现行桥梁设计规范在验算体系上的缺失，薄壁箱梁翼缘板面内剪应力的合理计算是主拉应力验算的基础。
为了克服已有文献中计算二次剪力流时的不合理性，本文在薄壁箱梁经典理论基础上，提出一种适用于约束扭转二次剪力流的分解计算方法，建立二次剪力流的实用计算公式，并揭示悬臂板宽度变化对二次剪力流和二次扭矩的影响规律。
1 悬臂板上的二次剪力流分析
图1(a)所示为具有竖向对称轴的单箱单室梯形箱梁横截面简图，O为截面扭转中心，x轴为过扭转中心的水平轴，y轴为竖向对称轴，z轴为过扭转中心的箱梁纵轴。箱室顶板、底板及悬臂板的宽度分别为b、a、c，梁高为h；tu、tb、tw分别为箱梁顶板和悬臂板、底板、腹板的厚度。A和A′为悬臂板厚度中心线上对称于y轴的任意两点，其位置由s坐标确定，s坐标的原点位于悬臂板自由端。图1(b)和图1(c)中示出了A和A′处的微元体位置及受力简图。
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图1 箱梁截面及微元体受力图
由A点处微元体的纵向平衡条件，可得
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(1)
式中：σωc为约束扭转翘曲正应力；qωc为约束扭转二次剪力流。
根据薄壁箱梁的约束扭转理论[19]，悬臂板上A点处的纵向翘曲位移wA为
wA(z,s)=-β′(z)ωA(s)
(2)
式中：β′(z)为横截面的广义翘曲位移；ωA(s)为悬臂板A点处的广义主扇性坐标，根据薄壁箱梁广义主扇性坐标计算原理，ωA(s)可按下列公式计算
众所周知，会计学是一门实践性极强的学科。会计学的教学除了要重视理论外还必须要重视对学生的实践能力锻炼。信息化会计教学内容应该包括教学过程中的实验课以及企事业实习两个部分。实验课包括会计应用软件实验、会计信息化系统分析与设计的实验、计算机网络维护管理及应用实验等。企事业毕业实习教学内容包括实际的账务处理和模拟账务的处理。
ωA(s)=ωF+ρc(c-s)
(3)
式中：ρc为扭转中心至A点处板厚中心线的垂直距离；ωF为悬臂板根部(腹板与上翼缘板交点处)的广义主扇性坐标。
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由式(2)可知，A点处的翘曲正应力为
(4)
式中：E为弹性模量。
区内褶皱构造不甚发育，总体上表现为一向东偏南倾斜的单斜构造，由于应力作用的影响，局部可见到层间小揉皱构造及勾状构造。
将式(4)代入式(1)并对s进行积分，由于悬臂板自由端处的二次剪力流为零，则A点处的二次剪力流为
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(5)
在式(5)中，令s=c，可得A点所在悬臂板根部的二次剪力流qωF为
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(6)
本文在描述悬臂板上A点处二次剪力流的方向时，均是针对箱梁正横截面(即其外法线方向与z轴正向一致的横截面)而言的，故在图1(a)所示横截面上，当A点处的二次剪力流方向与s方向一致时为正，反之为负。若按式(5)求得的A点处二次剪力流为负值，则表明该点的二次剪力流方向向左，即指向自由端。
对称于A点的A′点处的二次剪力流也可做类似分析。如图1(a)所示，右侧悬臂板上的s坐标原点同样位于自由端，A′点处的微元体受力如图1(c)所示。与前述分析过程相同，可得A′点处的二次剪力流
的计算公式为
(7)
式中：
为A′点所在悬臂板根部的广义主扇性坐标，其余符号意义同前。根据广义主扇性坐标的反对称关系，有
代入式(7)并与式(5)对比可知，A′点处的二次剪力流
与A点处的二次剪力流qωc的计算公式只差一个负号。若按式(5)求得的A点处二次剪力流为负值，则按式(7)求得的A′点处二次剪力流必为正值，这表明在图1(a)横截面上A′处的二次剪力流方向与s坐标相同，亦为指向左侧。
综上分析，本文论证了箱梁两侧悬臂板上对称于y轴的任意两点A和A′处的二次剪力流大小相等，方向也相同(都指向左侧或右侧)，在一侧悬臂板根部流入箱室的二次剪力流必然等于从另一侧流出箱室的二次剪力流，其大小按式(6)计算。
2 闭合箱室上的二次剪力流分析
闭合箱室壁厚中心线上任一点处的二次剪力流qωb由两部分组成，一部分是由于悬臂板根部的二次剪力流qωF流入箱室并重分布后所引起的二次剪力流qωb1，另一部分是由于闭合箱室上的翘曲正应力沿纵向变化所引起的二次剪力流qωb2。
沿闭合箱室壁厚中心线度量的s坐标以绕箱室逆时针方向为正，原点可选在顶板或底板的中点处。如图2所示，在箱梁正横截面上，从左侧悬臂板根部流入箱室的二次剪力流qωF经右侧腹板与顶板交点处流出箱室，按剪力流传递路径最短的原则，qωF只流经箱室的顶板，并不流经腹板和底板。然而，为了满足闭合箱室的翘曲位移连续性条件
(t为闭合箱室的壁厚)，必然在箱室各板内产生逆时针分布的均匀剪力流qωb10，容易求得qωb10为
图2 悬臂板二次剪力流进入箱室后的分布
(8)
则由于qωF流入箱室，在顶板上产生的二次剪力流
为
(9)
在腹板和底板上产生的二次剪力流为qωb10。
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闭合箱室上的第二部分剪力流qωb2同样可通过分析微元体的纵向平衡求得
qωb2=qωb20+Eβ‴
ωbtds=qωb20+Eβ‴Sωb
(10)
式中：qωb20为s坐标原点处的二次剪力流；ωb为闭合箱室壁厚中心线上任一点处的广义主扇性坐标；Sωb为任一点处的广义主扇性静面矩，Sωb=
ωbtds。将式(10)代入翘曲位移连续性条件
即可求得qωb20，从而由式(10)可得
(11)
至此，由式(9)及式(11)可得顶板壁厚中心线上任一点处的二次剪力流
为
(12)
腹板和底板壁厚中心线上任一点处的二次剪力流
为
(13)
本文建立的闭合箱室二次剪力流分解计算公式已考虑了悬臂板的影响，具有物理意义明确且计算不易出错的特点。具体计算时，只需考虑闭合箱室部分，不受悬臂板的干扰，有助于克服对二次剪力流的计算错误。
3 二次扭矩分析
箱梁横截面上的二次扭矩Mω同样由两部分组成，即Mω=Mωc+Mωb，其中Mωc为悬臂板提供的二次扭矩，Mωb为闭合箱室提供的二次扭矩。Mωc又由两部分组成，即Mωc=Mωc1+Mωc2，其中Mωc1是由两侧悬臂板上的二次剪力流合成的扭矩，而Mωc2是由悬臂板根部的二次剪力流qωF流入闭合箱室后，在闭合箱室内引起的二次剪力流所合成的扭矩。
两侧悬臂板上的二次剪力流合成的二次扭矩Mωc1为
Mωc1=-2
qωcρcds
(14)
将式(5)代入式(14)，经积分并整理后，可得
(15)
由图2可知，经悬臂板根部流入闭合箱室的二次剪力流在闭合箱室内重分布后所合成的二次扭矩Mωc2为
Mωc2=∮qωb10ρds-qωFρcb
(16)
式中：ρ为扭转中心至闭合箱室壁厚中心线上任一点处切线的垂直距离。
目前，该方法广泛的应用于残山景观区的区域化探和普查化探的找矿工作中，并且取得了显著的找矿效果，因此笔者认为值得推广应用。
将式(6)和式(8)代入式(16)，可得
(17)
式中：Ω为闭合箱室壁厚中心线所包围面积的2倍。
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由薄壁箱梁的广义主扇性几何特性可知
(18)
由式(17)和式(18)，可得
Mωc2=-Eβ‴ωFctu(2ωF+ρcc)
(19)
将式(15)与式(19)相加，即得悬臂板提供的二次扭矩为
(20)
式中：Iωc为两侧悬臂板提供的广义主扇性惯性矩，Iωc=
由闭合箱室上翘曲正应力沿纵向变化所引起的二次剪力流所合成的二次扭矩Mωb为
(21)
对式(21)中的积分进行分部积分并整理，可得
为了有效避免分布式光伏发电集成系统在使用过程中出现的稳定性问题，必须针对系统的设计环节进行全面优化，加强对控制器进行相关内容的有效控制，包括故障报警以及定位和测量内容等，同时应采取多功能汇流箱的方式进行智能汇流预警以及线路排查，同时，各光伏电子系统应均统一使用同一规格的电池组件，并按照相同的设置距离进行安装，以此形成一个整合性的电矩阵，电矩阵内的个单元必须配备完善的逆变器以及控制装置[2]。除此之外，应在设计安装过程中考虑不同地区经纬度位置以及屋面倾斜程度之间的差异，进行合理的方位控制和角度选择，确保选取范围和角度的一致性。
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(22)
式中：Iωb为闭合箱室提供的广义主扇性惯性矩，
将式(20)与式(22)相加，可得箱梁全截面上的二次扭矩为
Mω=Mωc+Mωb=-EIωβ‴
(23)
式中：Iω为箱梁全截面的广义主扇性惯性矩，Iω=Iωc+Iωb。
至此，已分别推演了箱梁悬臂板和闭合箱室上的二次剪力流和二次扭矩表达式，可以看出，它们都依赖于β‴，β‴必须通过建立微分方程进行求解。
4 约束扭转微分方程及其初参数解
根据薄壁箱梁的约束扭转理论，可建立关于扭转角φ的微分方程如下
(24)
式中：mt为分布扭转荷载集度，以其力矢指向z轴正方向时为正；μ为翘曲约束系数；k为约束扭转特性参数，
为剪切弹性模量，Id为抗扭惯性矩。
广义翘曲位移β′与扭转角φ之间的关系为
(25)
式中：Mz为箱梁截面总扭矩，它由自由扭转扭矩Md及二次扭矩Mω两部分组成；Iρ为极惯性矩。
微分方程的求解可采用初参数法，四个初参数分别为箱梁起始端(z=0)的扭转角φ0、广义翘曲位移
双力矩B0、扭矩M0。令微分方程式(24)中的mt=0，即先不考虑外荷载，则可将箱梁任一截面的扭转角φ(z)、广义翘曲位移β′(z)、双力矩B(z)及总扭矩Mz(z)用四个初参数表示为
(26)
(27)
(28)
Mz(z)=M0
(29)
如图3所示，当简支箱梁在跨中截面作用集中扭矩荷载
时，左半跨的初参数解仍满足式(26)～式(29)，右半跨的初参数解只需在式(26) ～式(29)基础上按照M0所在项补充对应的荷载项即可。例如，对于右半跨的广义翘曲位移，只需在式(27)基础上，补充一项
图3 跨中作用集中扭矩荷载的简支箱梁
四个初参数可由箱梁两端的边界条件确定。对于图3所示简支箱梁，显然有
根据右端边界条件B(z)|z=l=0，可求得
(30)
从而可得箱梁任一截面的广义位移和广义内力为
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
式中：带有符号‖l/2的项表示对于z>l/2的截面才需计入该项。将式(32)对z微分两次即得β‴。
5 数值算例分析
选取文献[18]中的预应力混凝土简支箱梁作为算例，其跨度l=40 m,采用C40混凝土，弹性模量E=34 GPa，剪切模量G=14.45 GPa，在跨中截面作用集中扭矩荷载
060 kN·m，箱梁横截面尺寸如图4所示。求得扭转中心至顶板中面的距离为1.251 m，广义主扇性惯性矩Iω=2.366 m6，抗扭惯性矩Id=8.052 m4，极惯性矩Iρ=11.503 m4。
图4 箱梁横截面尺寸(单位：m)
按本文建立的公式求得跨中左截面的二次扭矩Mω=159 kN·m，自由扭转扭矩Md=371 kN·m。求得相应的剪力流后再除以壁厚，即得相应剪应力。图5所示为箱梁跨中左截面(正面)上的总剪应力、二次剪应力及自由扭转剪应力的分布曲线，其中总剪应力由二次剪应力与自由扭转剪应力叠加而得。图5中箭头方向为剪应力的方向。
由图5可知：由于腹板上的二次剪应力和自由扭转剪应力方向相同，叠加后在腹板上产生的最大剪应力为128.4 kPa，其值约为腹板上自由扭转剪应力的2.1倍；由于在箱梁顶板和底板根部的二次剪应力与自由扭转剪应力方向相同，故叠加后在箱梁腹板与顶板和底板交界处产生的总剪应力也比自由扭转剪应力大得多；尽管在箱梁悬臂板厚度中心线上不产生自由扭转剪应力，但悬臂板上的二次剪应力仍不可忽视，箱梁横截面上的二次扭矩主要由悬臂板与腹板上的二次剪应力合成。
图5 箱梁跨中左截面剪应力分布(单位：kPa)
为验证计算结果的正确性，用本文建立的公式及有限元软件Ansys中的SHELL63壳单元计算该简支箱梁距跨中2 m处横截面上各板件中点处的剪应力，计算结果见表1中。用Ansys有限元计算时，集中扭矩荷载按照沿闭合箱室壁厚中心线均匀分布的剪力流形式，等效施加于跨中截面闭合箱室上各单元的相应节点处。为了消除跨中截面加载时的局部应力影响，故计算截面并未选在跨中截面，而是距离跨中2 m处的截面(该截面距跨中约为一倍梁高)。表1中的相对误差由本文解与Ansys解的差除以Ansys解得出。由表1可知，除了悬臂板中点处的计算值与Ansys结果误差稍大外，本文计算结果与Ansys结果总体上吻合良好。
表1 距跨中2 m处横截面的剪应力比较
计算点位置本文解/kPaAnsys解/kPa相对误差/%悬臂板中点18.8921.42-11.81顶板中点88.7292.32-3.90腹板中点98.4289.819.58底板中点67.3070.82-4.97
为考察悬臂板宽度变化对不同梁高的箱梁二次扭矩的影响，分别选取梁高h为2.12、3.06 m，亦即梁高与箱室宽度之比h/b=0.45、0.65，悬臂板宽度c=0～5.64 m，亦即悬臂板相对宽度比c/b=0～1.2，计算跨中左截面上悬臂板和闭合箱室的二次扭矩比Mωc/Mωb。图6为二次扭矩比Mωc/Mωb随悬臂板相对宽度比c/b的变化曲线，由图6可知：当悬臂板相对宽度比c/b=0.3～0.8时，箱室高宽比相对较大的箱梁的悬臂板承受相对更大的二次扭矩；对于箱室高宽比h/b=0.65的箱梁，当悬臂板相对宽度比c/b>0.55时，二次扭矩比Mωc/Mωb>1.0，但当c/b>0.8后，二次扭矩比Mωc/Mωb<1.0，当c/b=0.65时，二次扭矩比Mωc/Mωb达到最大值1.06，此时，悬臂板在箱梁抗扭中的作用得到充分发挥；对于箱室高宽比h/b=0.45的箱梁，要使二次扭矩比Mωc/Mωb>1.0，则要求悬臂板相对宽度比c/b>0.95，亦即需要宽度更大的悬臂板。
图6 二次扭矩比Mωc/Mωb随悬臂板相对宽度比变化曲线
为了考察二次剪应力对总剪应力的贡献，并在自由扭转剪应力基础上计算总剪应力，引入剪应力系数η，其定义为截面上任一点处的总剪应力与自由扭转剪应力之比。图7为箱梁的悬臂板相对宽度比c/b分别为0、0.4、0.8时，跨中左截面腹板上的剪应力系数η沿梁高的分布曲线，图中的横坐标为腹板上任一点的竖向坐标yw与梁高h之比，yw的原点位于腹板顶端。
图7 腹板剪应力系数沿腹板高度的分布曲线
由图7可知：当悬臂板相对宽度比c/b=0.4时，腹板剪应力系数的最大值达到2.3，比无悬臂板和长悬臂板时腹板的剪应力系数都要大；随着悬臂板相对宽度比c/b的增大，腹板剪应力系数最大的点位趋近于腹板底部；当悬臂板相对宽度比很大时，例如c/b=0.8时，腹板底部与顶部的剪应力系数相差也很大。
6 结论
(1) 以薄壁箱梁约束扭转分析的经典理论为基础，从分析微元体的纵向平衡出发，提出了约束扭转二次剪力流的分解计算方法，导出了计算悬臂板及闭合箱室上的二次剪力流和二次扭矩的实用公式，通过数值算例，验证了本文方法的合理性。
(2) 与纯闭口截面薄壁箱梁不同，带悬臂板的薄壁箱梁在闭合箱室内除产生因翘曲正应力沿纵向变化引起的二次剪力流外，还有从悬臂板根部流入闭合箱室内并经重分布后产生的二次剪力流。建立的闭合箱室二次剪力流分解计算公式具有物理意义明确且计算简便的特点，有助于克服目前二次剪力流计算方法的不合理性。
(3) 尽管悬臂板在箱梁自由扭转中承受的扭矩很小，但在约束扭转中承受的二次扭矩相当可观，甚至会超过闭合箱室承受的二次扭矩。对于箱室高宽比h/b较大的箱梁，当悬臂板宽度与闭合箱室宽度之比为0.65时，悬臂板承受二次扭矩的作用可得到充分发挥。
(4) 受二次剪力流的影响，箱梁全截面上的最大剪应力发生在腹板内。当悬臂板宽度与箱室宽度之比为0.4时，腹板上剪应力系数的最大值可达到2.3。随着悬臂板宽度与箱室宽度之比的增大，腹板上剪应力系数最大的点位逐渐趋近于腹板底部。
(5) 本文分析中采用了薄壁箱梁约束扭转经典理论中的刚周边假设，即梁体横截面扭转后在固有截面内的投影形状不变。对于悬臂翼缘板宽度很大的箱梁如展翅梁，悬臂板是否作为整个梁截面的有效组成部分按刚周边假设工作，尚需进一步开展研究。
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