21岁MIT本科生推动数学重要问题新进展, 曾获阿里数学竞赛奖

选自quantamagazine

机器之心编译

魔王、杜伟

2020 年 5 月，Ashwin Sah 发表论文，改善了拉姆齐数上界，这是组合数学（Combinatorics）领域中最重要的问题之一。

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2020 年 5 月 19 日，Ashwin Sah 就组合数学（Combinatorics）领域中最重要的问题之一——拉姆齐数发表了最佳结果。不过当时他想要为此庆祝喝一杯，是买不到酒的。

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当时 Sah 还未满 21 岁，正在 MIT 读本科（他在毕业后发表了新的证明）。即使在数学这一天才辈出的领域中，这依然是少见的。

加州理工学院数学教授 David Conlon 表示：「他作为一个本科生完成的工作足以使他获得一份教职。」

五月份发表的这份证明文章聚焦组合数学中的一个重要问题——拉姆齐数（Ramsey number），它用于量化图（由边连接的点或顶点集合）在必须包含某种特定子结构之前能有多大。

假设有六个顶点，彼此通过边连接。现在为总共 15 条边着色，可以选择将每条边涂成红色或蓝色。不管你如何着色，最终总会有三个顶点彼此之间以同色边相连（这被叫做「团」(clique)）。但是，如果是 5 个顶点，情况就不是这样了。因此，数学家认为两种颜色、团的规模为 3 的拉姆齐数为 6，这意味着要确保团存在，你需要至少 6 个顶点。

随着团的规模逐渐增大，我们很难计算确切的拉姆齐数。于是，数学家将团的规模设置为比某个数字（下界）大、比另一个数字（上界）小。

20 世纪 30 年代，知名数学家 Paul Erdős 和 George Szekeres 开始研究拉姆齐数的上下界。此后，数学家在该问题上几乎停滞不前。

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今年 5 月，Sah 证明图在必须包含特定模式前的大小，拓宽了这方面研究的边界。

Sah 的证明提升了双色拉姆齐数的上界，他通过优化 Erdős 和 Szekeres 提出的方法实现这一结果。Sah 的结果证明，一旦图达到特定大小，它必然包含具备对应规模的团。很多这方面的学者认为 Sah 的证明是利用现有研究所能达到的最佳结果。

David Conlon 表示：「他将这一方法推向逻辑极限。」该问题之前的最佳上界出自 Conlon。

Ashwin Sah 的数学人生

Ashwin Sah 在美国俄勒冈州波特兰市长大，从小喜欢数学。他在竞赛中接触到了高等数学并表现优异。2016 年夏天，16 岁的 Sah 夺得国际奥林匹克数学竞赛（IMO）的金牌，次年他进入 MIT 求学，并于两年半后毕业。

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2016 年，Ashwin Sah（左起第 3）所在的美国代表队获得了于香港举行的第 57 届 IMO 金牌。

2018 年， Ashwin Sah 还获得过首届阿里巴巴全球数学竞赛银奖。

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在来自全球的 4 万多名参赛者中，获得金、银铜奖的选手仅 20 人。

在 MIT 读书期间，有两个人对 Sah 的数学发展起到重要作用。第一个是离散数学大牛赵宇飞（Yufei Zhao）教授。Sah 在 MIT 就读第一年期间选了他的两门课程，包括研究生级别的组合数学讲座。

第二个人是现年 22 岁的 Mehtaab Sawhney，他们在课堂上相遇并成为朋友。后来，二人一起做研究，共同探讨离散数学领域内的多个主题，如图论、概率论和随机矩阵的属性。他们解决问题的方式简单直接，无需多年的正式训练。

他们与赵宇飞开展了密切的合作，后者提出一些研究问题，并教导他们如何写正式的数学论文。通常，赵宇飞会让他们研究某个特定问题，以为这会让他们忙活一段时间了，但是第二天就得到了答案。

过去三年中，Sah 和 Sawhney 写了数十篇论文，其中很多是二人合著。前不久，二人获得 2021 年摩根奖。该奖项由顶级数学组织颁发给数学研究表现出色的大学生。

赵宇飞认为他们年轻有为的程度没有先例，「本科生研究传统由来已久，但不管是数量还是质量，无人能及 Sah 和 Mehtaab。」

Sah 和 Mehtaab 目前都是 MIT 的研一学生，在新冠疫情期间，虽然处于不同地方，但仍然联系紧密。

他们表示自己不会被之前的成功所累。它只会促使他们超越过去。Sah 表示：「我总是期待未来能做什么。」