三等分角，阿基米德：尺规作图不可能？ / 四六文摘

相信大家都了解过尺规作图吧，何谓尺规作图呢？尺规作图在数学的学习上有什么作用呢？

简单来收，尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

这里的“直尺”和“圆规” 跟现实中的并非完全相同，具有抽象意义。

直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。

问

anny：sunny，二等分任意角的做法已然了然于胸，我们一起来尝试三等分任意角呀？

答

sunny：哈哈，我可不会三等分任意角，我们一起来问一下阿基米德大学士吧

阿基米德有刻度直尺三等分角

作法如图∠ACB为已给角.取CA = r为半径, C为圆心作半圆.用有刻度的直尺过B作直线交直径AC的延长线于O,半圆于P,并使OP = r

则∠POA=1/3∠ACB.

证明:由作法知，∠BPC=2∠POA，∠ACB=∠POA+∠BPC=3∠POA.

证毕。

问题真的解决了吗？

sunny：三等分任意角的问题就这样子解决了吗？

阿基米德：当然没有，我的解法虽然做出了要求角，但解法已经脱离了尺规作图的要求（使用了有刻度的直尺），这并不是完美的答案。

anny：连大学士都做不出来，那究竟三等分任意角的尺规作图有没有可能完成呢？

不可能证明简要

三等分角就相当于在单位圆上求做一定长度（x=cosθ)的线段，利用三角函数，把线段长度表示出来。事实上，可以得到

cos(3θ) = 4 cos³θ - 3 cosθ

其中已知cos(3θ)，从而就相当于用解三次方程（用尺规做出三次方程的实根）

4 x^3 - 3x -3 θ= 0

事实上，尺规作图只能作圆（二次方程）和直线（一次方程）的交点，从而解都在Q的二次扩域上。

现代数学证明，三等分任意角的尺规作图是不可能的哟！！！

与三等分角同样，“化圆为方”，“被立方体”都是尺规作图不可能完成的问题，一起并称“三大尺规作图不可能问题”。

……

1.《几何瑰宝平面几何500名题暨1000条定理下》沉文选，杨清桃编着

三等分角，阿基米德：尺规作图不可能？