将军饮马变形之“两动一定”型几何最值问题
我们知道，将军饮马问题指的是在一条定直线的同侧有2个定点，使得该直线上一点与两定点的距离之和最小。
如图，在直线上取一点P使得PA+PB最小。作点B关于直线的对称点B′，连接AB′与直线交于点P即可。
解法
此类问题做多了，就变成套路题了。所以难度不大。
但是如果将这种问题做一个变形，把“两定一动”改为“两动一定”，那情况就不一样了。
【变形1】
如图，点D为等边△ABC的边BC的中点，连接AD，点M、N分别为线段AD和AC上的动点，且AM=CN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为 °．
同学们，
先猜测一下答案，
然后再继续往下看！
【分析】
由于M和N都是动点，而点B是定点，所以无法直接确定何时BM+BN的和最小。
如果能把BM与BN变成三点共线那种类型就可以了。
但是怎么转化都不好转化。
题目的关键条件是AM=CN，因此可以考虑利用这个条件进行辅助线的构造。
线段相等，我们能想到什么呢？
一般我们都会想到构造全等。那怎么构造呢？
首先，AM在△ABM中，而CN在△BCN中，但是它们不全等。
所以我们可以选定一个三角形，以另外一边为基础构造全等。
【方法一】
固定△ABM，以CN为边构造一个三角形与△ABM全等。那么我们只需要构造30°的角即可，如下图：
过点C作CE⊥BC，并在CE上取一点E，使得CE=AB，连接EN。
那么我们可以得到△ABN≌△CEN（SAS），则EN=BM。
那么就转化为求BN+EN最小了，也就是B、N、E三点共线的时候和最小。
此时，∠CBE=∠CEB=45°，则∠CBN=45°，∠ABM=∠CEN=45°，
那么 易得∠MAN=30°。
【方法二】
如下图，过点C作CE⊥AB，且CE=AB，连接EN，则根据△ABM≌△CEN（SAS），得BM=EN。
现在就可以把BM+BN变成BN+EN，而点N在AC上运动，B与E为定点，也就变成了将军一那么问题了。
解法就变成和上一题类似了。
既然我们可以构造和△ABM全等的三角形，那么可不可以构造和△CBN全等的三角形呢？
当然可以。
【方法三】
如上图，以AM为边构造△AMF≌△CNB，得BN=FM，那么把BM+BN就转化为了求BM+FM的最小值了。连接BF即可。
此时，△ABF为等腰直角三角形，∠ABM=45°，∠CBN＝∠AFM=45°。
【方法四】
如下图，如果在AD的左侧构造△AMF也是一样的，这时候就是将军饮马问题了，还是需要找出对称点进行求解。
具体方法与上一种类似，不再详述。
【总结】
本题的关键是什么呢？
可以发现两个三角形分别有两组边对应相等，但是夹角不一样，所以无法得到全等。那么就可以考虑以其中一个三角形为样板进行构造。
【变形2】
（2013天津中考数学压轴题改编）如图，点A（－2,0），点B（0,4）和点E（0,1），将AE沿着x轴方向平移得到A′E′，连接A′B和E′B，求A′B+E′B的最小值。
此时，也是两动一定，不过题目的主要条件是平移，所以此时可以考虑用平移的方式进行转化。将BE′沿着E′A′的方向平移至点A′，或者将A′B沿着A′E′方向平移至点E′即可。
如图1，相当于求A′B与A′B′的和最小。
图1
如图2，下面这种方式也可以的。
图2
上面两种方法都是转化为将军饮马问题，那能不能直接转化为两点之间线段最短的问题呢？
当然，也是可以的。
如上图，直接把BE′对称到上面的BE′′即可。如果把BA′对称上去也是可以的呢。
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