处理变量没有跳跃也可以用断点回归（一）

参考文献：Yingying Dong, Ying-Ying Lee & Michael Gou (2021): Regression Discontinuity Designs With a Continuous Treatment, Journal of the American Statistical Association, DOI: 10.1080/01621459.2021.1923509

应该存在但是并不存在的断点

本文模型的出发点是下图中的实证场景，在20世纪早期。对于人口小于3000的城镇，银行的最低资本要求为25,000美元，而当人口大于3000时这个要求变成50,000美元。也就是说对于银行资本，我们预期在3000人口的地方存在一个断点。但实际情况如下图所示，处理变量（银行的资本）是一个连续变量，如果我们考察断点左右两边银行资本的平均数时，看不到明显的突变。

这就麻烦了，明明存在政策要求上的突变，去看不到自变量的突变。这个问题的根源在于，不同于传统的断点回归模型，此处的处理变量成了一个连续变量。所以导致平均数没有变化。

那是不是要放弃抵抗呢？实际上在这个问题里面，我们能看出来，对于那些资质很好的银行，是不受到最低资本影响的，只有那些资质比较差的银行才会收到政策影响。

这就启发我们用一种方案把不同的银行（观测点）区分开来

分位数局部处理效应

解决这个问题的方案是，我们按照处理变量对观测点进行分段，假设等分为10段，然后在不同的分段内部定义局部处理效应为：

其中t(u,r)是处理变量关于分位数的决定函数，实际上式中是定义了一个局部的wald估计。从而，一旦我们假设一个u的分布函数之后，那边可以使用该分布函数来定一个加权的局部处理效应来估计断定附近的处理效应。

本文证明经典断点回归也是一个加权分位数局部处理效应，从而将本文模型一般化。

实证结果

上图中，蓝线表示断点左边的估计，红线是断点右边的估计，横轴是分位数。可以看到，对于银行资本处于底部（30%）的银行而言，政策的突变的影响是存在的。这符合我们的猜测。

进一步，使用局部线性回归可以得到分位数局部处理效应，如下图：

可以看出在底部分位数范围内，银行资本要求的提升增加了银行的资产。