初二奥数精讲——第2讲 因式分解的特殊方法（二）

本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，比如，比较大小，判断函数的单调性，证明不等式，解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。因式分解在数学竞赛中，除了常规的基本方法，还需要掌握和运用一些特殊方法，让我们来开始学习吧。

1. 基本知识

因式分解的常用定理：

因式定理：如果一个关于x的多项式在x=a时的值为零，则这个多项式必定含有因式x-a.

恒等定理1：设

都是关于x的多项式，则A与B恒等，当且仅当m=n，a_n=b_n，

a_n-1=b_n-1，…，a₁=b₁，a₀=b₀.

恒等定理2：设A、B都是关于x的n次多项式，如果它们在多于n个点处的值都相等，那么这两个多项式恒等。

有理根判定定理：设

是关于x的整系数多项式，p、q是整数且p、q互质。如果多项式A含有有理根q/p，则p是an的因子，且q是a0的因子。此时，多项式含有因式(px-q).特别地，对于首一（首项系数为1）的多项式，其有理根都是整数根。

2. 基本方法

前一讲介绍了因式分解的常用方法，此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下的方法：

（1）拆添项法：将一个项分成两个或多个项，或者同时加上或减去一个相同的项，再适当分组进行分解。

（2）长除法（或综合除法）：通过观察、试验，发现多项式含有某种因式，然后采用多项式除法求出另一个因式。如果先发现的因式是一次式，其多项式的除法可分离出系数来进行，这种除法叫综合除法。以一元二次多项式

除以x-a为例：

综合除法的具体作法是：先在第一行依次写出被除式按降幂排列的各项的系数（缺项用零补齐），然后将最左边一个系数移到第三行，再用a乘第三行最右边（开始时第三行只有一个数）的数，其积写在第二行的右移一列。将此列两数的和写在该列的第三行。如此下去，直至求出最后一列两数的和，此和即为要求的余数。

当综合除法掌握得很熟练时，运用起来就比长除法简便很多，但长除法的适用范围更广，因为它可以进行任何两个多项式相除。

（3）试根法：根据多项式有理根判定定理，确定多项式的有理根的所有可能形式，逐一检验，发现其有理根，进而确定多项式含有的因式，最后用长除法或综合除法确定它的其他因式。

这部分主要考察学生的对因式分解特殊方法的了解及掌握，是因式分解的奥数题延伸，属于提高部分。这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，才能保证在因式分解特殊方法的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

因式分解：

分析：注意到中间两项系数均为5，联想到立方和公式的因式，所以想到配一个常数1。

解答：

例2

因式分解：

分析：如果多项式含有有理根，则必是整数根，且此整数为10的约数±1、±2、±5、±10，经试验，当x=2时，原式等于0，依据因式定理，原式有因式x-2，由此可通过综合除法进行分解。也可采用拆添项，应使相邻两项系数之比为1：(-2)。

解答：

例3

因式分解：

例4

设多项式

含有因式3x+1和2x-3，试将此多项式因式分解。

例5

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