初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）

设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p的值；

题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。

首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，

可得-、3、3、10、13、p，

那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，

那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，

首先可以排除1170×p这种形式，

那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，

同时p肯定要比1170小，

所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：

①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；

②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；

③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；

④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；

⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；

⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；

所以最终就能得到p=13；

这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？

我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，

有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？

所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，

那么我们可以将两个3看做一个因数9，

现在就变成了四个因数9、10、13、p，

需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，

那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，

那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，

也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，

将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，

130-117=13=p成立，

所以p=13符合；

老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：

x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，

所以设x=np，

那么（np）²=p（1170-p），

所以n²p=1170-p，

变形为n（n+1）p=9×10×13

那么p=13；

这个方法确实要简单些，不过却不容易想到将x替换为np，

一般来说，谁能想到这个？

老师提供的第二种方法也包含了部分这个方法中的一些设想，只不过路线不同罢了，所以同一道题方法有很多，有些只是我们还未发现而已，并不代表不存在。

三种方法都有了，这道题也就game over了。