八下第六讲 初识手拉手模型

写在前面

犹记得2014年秋,笔者参加了区教研室组织的一次教师素养测试,其中,填空压轴题选取的正是上题,2014年武汉中考的填空压轴.当时笔者工作刚满两年,并没有在考场上解出,但却引起了我的关注.随后,区教研员也与各位老师在网络一同探讨,找到了多种解法.

2015年6月,笔者在工作三年的汇报课上,就以此题为本,设计了一堂《用旋转构造“手拉手”模型》的专题复习课.最近几年,可以用这种模型构造法解决的填空选择压轴题越来越多.2016年,常州特级教师于新华还在他的无锡讲座中开设了“捆绑旋转”的专题,可以说是对构造手拉手模型的进一步升华.而所有的手拉手模型,皆起源于下图.

一.何为手拉手模型

我们先来看一张示例图片.

国家领导人外出访问时,经常与他国领导人采用这样的握手方式,以示友好.那么上图中,AC,BC,DC,EC即可看作两个人的两双手臂,点C看作两个人握在一起的四只手,是不是很形象?

那么, “两个形状相同的图形,共用同一个顶点”,即可看作“手拉手模型”.更特殊的,符合“等线段,共顶点”的图形,也是常考的模型.

这里给出四个常见模型.

二.手拉手模型中的一些结论及证明

结论(2)

证法1:

由△ADC≌△BEC得

∠1=∠2,

又∵∠APC=∠BPO,

∴∠AOB=∠ACB=60°

证法2:(捆绑旋转)

△ACD绕点C顺时针旋转60°到△BCE

则AD也绕点C顺时针旋转60°到BE

其夹角为60°

具体详解可见《八上第一讲  全等证明格式易错分析(附“捆绑旋转”秒杀一类全等填空题)

结论(3)

由∠1=∠2,

AC=BC,

∠ACP=∠BCQ可证

三.如何构造手拉手模型

其实,说许多中考的填空选择压轴题难,那么难在哪呢?其实就在构造,比如,构造手拉手模型.

这里我们先从结论(8)入手.

将图化简,抽离出如图所示模型

易知∠AOC=∠BOA=60°,即∠BOC=120°

∠BOC与∠BAC互补

要证OA=OB+OC

法1:截长补短法

法2:旋转法

思路:

BA可以看作由BC绕点B顺时针旋转60°得到,

那也可以将△BOC如此旋转.

AC可以看作由BC绕点C逆时针旋转60°得到,

那也可以将△BOC如此旋转.

证法1:

将△BOC绕点B顺时针旋转60°到△BFA

则FA=OC,∠BFA=∠BOC=120°

连接FO,易证△BFO为等边三角形

则A,F,O三点共线

OA=OF+FA=OB+OC

证法2:

将△BOC绕点C逆时针旋转60°到△AGC

则GA=OB,∠AGC=∠BOC=120°

连接GO,易证△GCO为等边三角形

则A,G,O三点共线

OA=AG+GO=OB+OC

另外,

很多时候的截长补短法,都可以用旋转法解决,比如半角模型亦然.

八上第二讲 全等辅助线(1)截长补短 中的第二部分有提到.

思路:

AD绕点A逆时针旋转90°到AB,则将△ADE绕点A逆时针旋转90°到△ABG

AB绕点A顺时针旋转90°到AD,则将△ABF绕点A顺时针旋转90°到△ADG

但是旋转法有时必须注意:

要证三点共线!!!

碍于篇幅,本讲不再设置例题,直接给出本讲思考题:

如图,两个正方形ABCD,DEFG,求证:S△ADG=S△EDC

附第五讲答案:

在△ABC中,BC=10,AB的中垂线与AC的中垂线交BC于点D,E,若DE=4,求AD+AE的长.

两解:

当△ABC为钝角三角形,AD+AE=BD+EC=BC-DE=6

当△ABC为锐角三角形,AD+AE=BD+EC= BC+DE=14

END

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