张国川：圆锥曲线中非对称韦达式的处理策略——一道解析几何试题的多种解法

圆锥曲线中非对称韦达式的处理策略

——一道解析几何试题的多种解法

福建省泉州第一中学（362000）张国川

解析几何试题中，以斜率关系考查为背景的试题在各地模拟试题中经常出现，其本质常与圆锥曲线的第三定义有关，深层次的理论依据则是大学高等几何中的极点极线问题．利用代数方法解决几何问题的核心是将几何基本量代数化，如将斜率用两点坐标表示，再根据题目将所要求解的斜率表达式整合成对称韦达式，并将韦达定理整体代入求解即可．

最近在一些模拟试题中却出现了一些非对称韦达式，比较简单的通常是将韦达定理中的两个式子相除，得到两根和与积的倍数关系，代入化简即可；可是有些试题如是操作却不可行，本文结合我校高三最后一卷模拟试题的解法谈谈非对称韦达式的处理策略，以此抛砖引玉，希望对大家今后解决此类问题能有所帮助．

试题呈现

(泉州一中2021届高三最后一卷数学模拟试题改编)

【结束语】非对称韦达式是圆锥曲线中一类比较特殊的代数结构，对学生处理代数式子的要求比较高，本质上是考查学生如何将非对称式子转化成对称式子，和数列中将非特殊数列化成特殊的等差或等比数列有异曲同工之妙，命题者的意图旨在通过试题考查学生数学运算的核心素养，有利于培养学生熟练的式子变形能力，符合解析几何考查代数运算求解能力的基本要求．

致谢：本文的部分解答由泉州一中刘彬辉老师提供，在此一并表示感谢！

【作者简介】张国川，中共党员，一级教师，泉州一中高中数学教师.中国教育学会会员、新青年数学教师工作室副秘书长、泉州市高中数学林少安名师工作室成员.2015年参加福建省中学教师“说题”比赛《一道几何题的拓展解析》荣获一等奖；2015年在第二届全国新青年数学发展论坛论文评比一等奖；泉州市2018年高中岗位练兵一等奖、被泉州市人社局授予“教学能手”称号；先后在《福建中学数学》《数学教学》《中学数学》等CN刊物上发表或汇编论文近40篇；多次承担省级培训研讨课教学，承担省级、市级公开教学，参与多个省级、市级课题研究；指导学生参加全国中学生数学论文写作比赛荣获二等奖.